Enunciado

Suponha que { u 1 ,   … ,   u r ,   v 1 ,   … ,   v s } é um subconjunto L.I de um espaço V . Mostrar que

u 1 ,   … ,   u r ⋂ v 1 ,   … ,   v s = 0

Passo 1

Show de bolinhas então pessoal, temos aqui que { u 1 ,   … ,   u r ,   v 1 ,   … ,   v s } é um subconjunto L.I, e queremos verificar que

u 1 ,   … ,   u r ⋂ v 1 ,   … ,   v s = 0

Então primeiro vamos dividir o subconjunto de V em outros dois subconjuntos U ' e V '

U ' = { u 1 ,   … ,   u r }

V ' = { v 1 ,   … ,   v s }

Passo 2

Como { u 1 ,   … ,   u r ,   v 1 ,   … ,   v s } é L.I, então tanto U ' = { u 1 ,   … ,   u r } e V ' = { v 1 ,   … ,   v s } também são L.Is, logo não existe nenhum conjunto de escalares a i tal que

u i = a 1 v 1 + ⋯ + a i v i + ⋯ + a s v s

E da mesma forma não existe para V '

v i = a 1 u 1 + ⋯ + a i u i + ⋯ + a r u r

Isso quer dizer que nenhum vetor que está em U ' pode ser gerado pelos vetores de V ' e vice versa, portanto como ambos são subespaços vetoriais o único elemento em comum que eles têm é a origem { 0 } , já que

0 = 0 u 1 + ⋯ + 0 u r             e                 0 = 0 v 1 + ⋯ + 0 v s

Então u 1 ,   … ,   u r ⋂ v 1 ,   … ,   v s = 0

Resposta

Demonstração.

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