Enunciado

Suponha que { v 1 ,   … ,   v n } é um subconjunto L.I de um espaço vetorial. Mostrar que { a 1 v 1 ,   … ,   a n v n } também é L.I, desde que os escalares a i sejam todos não nulos.

Passo 1

Iradoso então pessoal, se { v 1 ,   … ,   v n } é L.I, podemos montar uma matriz com os vetores v j nas linhas

v 1 ,   … ,   v n = ← v 1 → → ← v 2 → → ⋮ ← v n → → = V

Logo todas a linhas dessa matriz V são linearmente independentes, e agora para o conjunto { a 1 v 1 ,   … ,   a n v n } podemos isolar cada elemento a i e ver como essa matriz se comporta.

Passo 2

Então a matriz de { a 1 v 1 ,   … ,   a n v n } é

a 1 v 1 ,   … ,   a n v n = ← a 1 v 1 → → ← a 2 v 2 → → ⋮ ← a n v n → → = W

Isolando a 1

← a 1 v 1 → → ← a 2 v 2 → → ⋮ ← a n v n → → ⇒ 1 a 1 ← a 1 v 1 → → ← a 2 v 2 → → ⋮ ← a n v n → → = ← v 1 → → ← a 2 v 2 → → ⋮ ← a n v n → →

Agora a 2

1 a 1 ← a 1 v 1 → → ← a 2 v 2 → → ⋮ ← a n v n → → = ← v 1 → → ← a 2 v 2 → → ⋮ ← a n v n → → ⇒ 1 a 1 × 1 a 2 ← a 1 v 1 → → ← a 2 v 2 → → ⋮ ← a n v n → → = ← v 1 → → ← v 2 → → ⋮ ← a n v n → →

Então para todo a i

1 a 1 × 1 a 2 × ⋯ × 1 a n ← a 1 v 1 → → ← a 2 v 2 → → ⋮ ← a n v n → → = ← v 1 → → ← v 2 → → ⋮ ← v n → →

Passo 3

E sabemos que a matriz V é uma matriz de linhas L.Is, e se o produto 1 a 1 × 1 a 2 × ⋯ × 1 a n existir então a matriz W será um múltiplo de V , maaaasss esse produto só existe se não houver alguma indeterminação do tipo

1 a i = 1 0

Logo a j ≠ 0 , e com isso   W também será uma matriz de linhas independentes, e o conjunto { a 1 v 1 ,   … ,   a n v n } é L.I, desde que os escalares a i sejam todos não nulos.

Resposta

Demonstração.

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Sejam V 1 = 4 ,2 ,- 3 ,V 2 = ( 2 ,1 ,- 2 ) e V 3 = ( - 2 ,- 1 ,0 ) .d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por V 1 ,V 2 e V 3 .
Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0, em queb) A = 1 1 2 - 1 2 3 6 - 2 - 2 1 2 2
Sejam V 1 = 4 ,2 ,- 3 ,V 2 = ( 2 ,1 ,- 2 ) e V 3 = ( - 2 ,- 1 ,0 ) .Mostre que V 1 , V 2 e V 3 são L.D.
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:e) A =2 3 0
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:e) A =2 3 0