Suponha que { v 1 ,… ,v n } é um subconjunto L.I de um espaço vetorial. Mostrar que { a 1 v 1 ,… ,a n v n } também é L.I, desde que os escalares a i sejam todos não nulos.

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 10

Suponha que é um subconjunto L.I de um espaço vetorial. Mostrar que também é L.I, desde que os escalares sejam todos não nulos.

Passo 1

Iradoso então pessoal, se é L.I, podemos montar uma matriz com os vetores nas linhas

Logo todas a linhas dessa matriz são linearmente independentes, e agora para o conjunto podemos isolar cada elemento e ver como essa matriz se comporta.

Passo 2

Então a matriz de é

Isolando

Agora

Então para todo

Passo 3

E sabemos que a matriz é uma matriz de linhas L.Is, e se o produto existir então a matriz será um múltiplo de , maaaasss esse produto só existe se não houver alguma indeterminação do tipo

Logo , e com isso também será uma matriz de linhas independentes, e o conjunto é L.I, desde que os escalares sejam todos não nulos.

Resposta

Demonstração.

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Sejam V 1 = 4 ,2 ,- 3 ,V 2 = ( 2 ,1 ,- 2 ) e V 3 = ( - 2 ,- 1 ,0 ) .d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por V 1 ,V 2 e V 3 .

Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0, em queb) A = 1 1 2 - 1 2 3 6 - 2 - 2 1 2 2

Sejam V_1 = (4 , 2 , - 3) , V_2 = ( 2 , 1 , - 2 ) e V_3 = ( - 2 , - 1 , 0 ) .Mostre que V_1 , V_2 e V_3 são L.D.

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:e) A =2 3 0