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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 12

Considere a base S =   ( v 1 , v 2 , v 3 ) de R 3 , em que v 1 = ( 1,2 , 1 ) , v 2 = ( 2,9 , 0 ) e v 3 = ( 3,3 , 4 ) e seja T : R 3 → R 3 a transformação linear tal que

T v 1 = 1 , - 1,2 ,   T v 2 = 0,3 , 2 e   T v 3 = ( - 3,1 , 2 )

Encontre uma fórmula para T ( x 1 , x 2 , x 3 ) e use essa fórmula para obter T ( 7,13,7 ) .

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos à resolução:

Vamos considerar a base para R 2 dada por:

S = 1 2 1 , 2 9 0 , 3 3 4

E vamos considerar o operador T : R 3 → R 2 para a qual:

T v 1 = 1 0 , T v 2 = - 1 1 e T v 3 = 0 1

Vamos à primeira fórmula para T ( x 1 , x 2 ) :

x 1 , x 2 , x 3 = a v 1 + b v 2 + c v 3

= a 1 2 1 + b 2 9 0 + c 3 3 4

Que vai ficar:

x 1 = a + 2 b + 3 c

x 2 = 2 a + 9 b + 3 c

x 3 = a + 4 c

a = - 36 x 1 + 8 x 2 + 21 x 3

b = 5 x 1 - x 2 - 3 x 3

c = 9 x 1 - 2 x 2 - 5 x 3

O que nos dá:

x 1 , x 2 , x 3 = ( - 36 x 1 + 8 x 2 + 21 x 3 ) v 1 + 5 x 1 - x 2 - 3 x 3 v 2 + 9 x 1 - 2 x 2 - 5 x 3 v 3

Isso nos leva a:

T x 1 , x 2 , x 3 = T ( - 36 x 1 + 8 x 2 + 21 x 3 ) v 1 + 5 x 1 - x 2 - 3 x 3 v 2 + 9 x 1 - 2 x 2 - 5 x 3 v 3

= ( - 36 x 1 + 8 x 2 + 21 x 3 ) T ( v 1 ) + 5 x 1 - x 2 - 3 x 3   T ( v 2 ) + 9 x 1 - 2 x 2 - 5 x 3 T ( v 3 )

= ( - 36 x 1 + 8 x 2 + 21 x 3 ) 1 0 + 5 x 1 - x 2 - 3 x 3   - 1 1 + 9 x 1 - 2 x 2 - 5 x 3 0 1

Finalmente

T x 1 , x 2 , x 3 = - 41 x 1 + 9 x 2 + 24 x 3 14 x 1 - 3 x 2 - 8 x 3

Então:

T 7,13,7 = - 41 ⋅ 7 + 9 ⋅ 13 + 24 ⋅ 7 14 ⋅ 7 - 3 ⋅ 13 - 8 ⋅ 7

T 7,13,7 = - 2 3

Resposta

T x 1 , x 2 , x 3 = - 41 x 1 + 9 x 2 + 24 x 3 14 x 1 - 3 x 2 - 8 x 3

T 7,13,7 = - 2 3

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