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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 11

Considere a base S =   ( v 1 , v 2 , v 3 ) de R 3 , em que v 1 = ( 1,1 , 1 ) , v 2 = ( 1,1 , 0 ) e v 3 = ( 1,0 , 0 ) e seja T : R 3 → R 3 o operador linear tal que

T v 1 = 2 , - 1,0 ,   T v 2 = 0 , - 3,5 e   T v 3 = ( - 1,5 , 1 )

Encontre uma fórmula para T ( x 1 , x 2 , x 3 ) e use essa fórmula para obter T ( 2 , 4 , - 1 ) .

Passo 1

Vamos considerar a base para R 2 dada por:

S = 1 1 1 , 1 1 0 , 1 0 0

E vamos considerar o operador T : R 3 → R 3 para a qual:

T v 1 = 2 - 1 4 , T v 2 = 0 - 3 5 e T v 3 = - 1 5 1

Vamos à primeira fórmula para T ( x 1 , x 2 ) :

x 1 , x 2 , x 3 = a v 1 + b v 2 + c v 3

= a 1 1 1 + b 1 1 0 + c 1 0 0

Que vai ficar:

x 1 = a + b + c

x 2 = a + b

x 3 = a

a = x 3

b = x 2 - x 3

c = x 1 - x 2

O que nos dá:

x 1 , x 2 , x 3 = x 3 v 1 + x 2 - x 3 v 2 + x 1 - x 2 v 3

Isso nos leva a:

T x 1 , x 2 , x 3 = T x 3 v 1 + x 2 - x 3 v 2 + x 1 - x 2 v 3

= x 3 T ( v 1 ) + x 2 - x 3 T ( v 2 ) + x 1 - x 2 T ( v 3 )

= x 3 2 - 1 4 + x 2 - x 3 3 0 1 + ( x 1 - x 2 ) - 1 5 1

= - x 1 + 4 x 2 - x 3 5 x 1 - 5 x 2 - x 3 x 1 + 3 x 3

Então:

T 2,4 , - 1 = 15 - 9 - 1

Resposta

T x 1 , x 2 , x 3 = - x 1 + 4 x 2 - x 3 5 x 1 - 5 x 2 - x 3 x 1 + 3 x 3

T 2,4 , - 1 = 15 - 9 - 1

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