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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 13

Prove: se A for uma matriz m   ×   n , então A T A e   A A T têm o mesmo posto.

Passo 1

Vamos lá! Que tal escrevermos nossa matriz A como uma matriz coluna composta por vetores a i → = a i 1 , a i 2 , … ,   a i n ,   s e n d o   i   c o n t i d o   n o   i n t e r v a l o   1 , m , assim nossa matriz fica:

A = a → 1 a → 2 ⋮ a → m

Passo 2

Agora vamos escrever nossa matriz A T da forma convencional.

A T = a 11 ⋯ a m 1 ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ⋯ a m n

Passo 3

Vamos escrever agora o produto A T ⋅ A .

A T ⋅ A = a 11 ⋯ a m 1 ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ⋯ a m n ⋅ a → 1 a → 2 ⋮ a → m

A T ⋅ A = a 11 a → 1 + a 21 a → 2 + … + a m 1 a → m a 12 a → 1 + a 22 a → 2 + … + a m 2 a → m ⋮ a 1 n a → 1 + a 2 n a → 2 + … + a m n a → m

Passo 4

Agora vamos fazer o caminho inverso, escrever A ' como uma matriz coluna composta de vetores linha e A como uma matriz convencional, assim temos:

A ⋅ A T = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ⋯ a m n ⋅ a → 1 a → 2 ⋮ a → n

A ⋅ A T = a 11 a → 1 + a 12 a → 2 + … + a 1 n a → n a 21 a → 1 + a 22 a → 2 + … + a 2 n a → n ⋮ a m 1 a → 1 + a m 2 a → 2 + … + a m n a → n

Passo 5

Vamos comparar nossas matrizes A T ⋅ A e A ⋅ A T .

A T ⋅ A = a 11 a → 1 + a 21 a → 2 + … + a m 1 a → m a 12 a → 1 + a 22 a → 2 + … + a m 2 a → m ⋮ a 1 n a → 1 + a 2 n a → 2 + … + a m n a → m

A ⋅ A T = a 11 a → 1 + a 12 a → 2 + … + a 1 n a → n a 21 a → 1 + a 22 a → 2 + … + a 2 n a → n ⋮ a m 1 a → 1 + a m 2 a → 2 + … + a m n a → n

Como as linhas tanto de A T ⋅ A , como A ⋅ A T são combinações de todas as linhas e colunas da matriz A por consequência a tamanho da combinação linear dos produtos é o mesmo da combinação linear da matriz A .

Isso quer dizer que a dimensão dos produtos é a mesma dimensão da matriz A , assim temos:

dim ⁡ A = dim ⁡ A ⋅ A T = dim ⁡ A T ⋅ A

Isso é tudo pessoal!

Abraços! Até a próxima!

\o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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