Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 7
Considere as bases e de , em que
a) Encontre a matriz de transição de para .
b) Encontre a matriz de transição de para .
c) Calcule o vetor de coordenadas , em que
e use (10) para calcular .
d) Confira seu trabalho calculando diretamente.
Passo 1
Eai pessoal, partiu fazer uma questão sobre mudança de base?
Nesse exercício ele forneceu pra gente duas bases e . Nos primeiros itens queremos achar a matrizes de mudança de base e . Lembre que a matriz é construída pegando os vetores de e escrevendo duas coordenadas em termos da base . Daí, colocamos essas coordenadas nas colunas da matriz!
Neste problema, diferentemente do anterior, a base não é a base canônica. Com isso, não é tão simples escrever as coordenadas de e na base . Esse é nosso principal objetivo:
Assim, achamos
Da mesma forma
Com isso, o item (a) já está pronto para gente, basta colocar essas coordenadas na coluna da matriz:
Passo 2
No item (b), queremos achar . Para isso, basta inverter a matriz achada no item (a). Como a matriz é , vamos usar o truque:
Lembre-se que esse truque só vale para matrizes . Assim, achamos a inversa rapidinho:
Assim,
Passo 3
Agora vamos para o item (c). Ele fornece um vetor dado por
Para achar as coordendas de com relação a base , escrevemos:
Assim,
Ou ainda,
Daí, para calcular , usamos a fórmula
Assim,
Fazendo o produto de matrizes, achamos
Isso significa que
Passo 4
No item (d) temos que confirmar que nosso resultado do item (c) está correto. Para isso, usamos que
Como e , temos que
Assim,
Vemos que as contas estão certas 😊