Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 1
Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de em relação à base de .
a)
b)
c)
Passo 1
Legal, vamos resolver esse exercício bem simples para começar a entender melhor o processo de mudança de base!
Vamos começar pelo item (a):
O exercício quer que você ache as coordenadas do vetor na base . Na base canônica, o vetor é dada por
Coloquei o índice para indicar que essas são as coordenadas na base canônica. Mas aqui, observe que a base é a base canônica pois os vetores e são os vetores canônicos de . Com isso, nesse item (a) você não precisar fazer nenhuma conta, a resposta já foi dada de cara para você
Passo 2
No item (b), as coisas já vão ser um pouquinho diferentes! Agora não é mais a base canônica! Assim, para achar na base , devemos usar a relação
Já sabemos que
Lembre-se que quando usamos a representação em colchetes estamos falando de um vetor coluna. Para achar o vetor coluna precisamos construir a matriz de mudança de base .
Para isso, precisaríamos conhecer os vetores da base canônica (antinga) em termos dos vetores da base (nova). Vamos procurar essa matriz usando o procedimento ensinado pela equação (14) dessa seção do livro. Primeiro nós construímos uma matriz expandida do tipo
As colunas dessa matriz serão os vetores das bases. Lembre-se que aqui, a base antinga é a base canônica e base nova é . Assim, a matriz fica
Agora temos que fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado direito na identidade. Para isso, multiplicamos a primeira linha por , somamos com a segunda e substituímos ela na segunda linha:
Aproveitei e já dividi a segunda linha por na última passagem. Agora, multiplicamos a segunda linha por e somamos com a primeira:
Portanto, a matriz de transição é
OBS: note que na prática, o que fizemos foi achar a inversa da matriz que é dada por
Feito isso, podemos escrever:
Fazendo a multiplicação de matrizes:
Assim, na base , o vetor é escrito como
Passo 3
Bom, agora que você já viu como devemos fazer o item (b), vou resolver o item (c) de um jeito um pouquinho mais rápido!
Agora, temos que . Portanto, temos a matriz
Multiplicando a primeira linha por e somando com a segunda:
Daí, basta dividir a segunda linha por :
Logo, a matriz de transição é
Nesse caso, temos que
Portanto,
Desta forma, o vetor é escrito como