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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 21

Repita as partes (a), (c), (d), (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz

A = 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1

Passo 1

Vamo começar então pela nossa letra (a). Que diz pra gente encontrar a matriz A elevada ao cubo.

A 3 = A . A . A = 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 ⇒

A 3 =   A 2 . A =   9 0 0 0 - 8 - 6 0 6 - 8 ⏝ A 2 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 ⏝ A =   27 0 0 0 26 - 18 0 18 26

Passo 2

Já na letra (c) vamos ter uma equação envolvendo nossa matriz, essa equação é dada por A 2 - 2 A + I . Aqui a malandragem é a gente descobrir os termos um de cada vez e depois jogar tudo na equação, assim ó:

A 2 = 9 0 0 0 - 8 - 6 0 6 - 8

2 A = 6 0 0 0 - 2 6 0 - 6 - 2

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A 2 - 2 A + I =   9 0 0 0 - 8 - 6 0 6 - 8 - 6 0 0 0 - 2 6 0 - 6 - 2 + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 4 0 0 0 - 5 - 12 0 12 - 5

Passo 3

A letra (d) também ta afim que a gente resolve o polinômio, p x = x - 2 , onde p A = A - 2 I

A =   3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1

2 I =   2 0 0 0 2 0 0 0 2

A - 2 I =   3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 -   2 0 0 0 2 0 0 0 2 = 1 0 - 1 0 - 3 3 0 - 3 - 3

Passo 4

Iradoso, agora a letra (e) também traz um polinômio, p x = 2 x 2 + x + 1 , onde p A = 2 A 2 + A + I .

2 A 2 = 18 0 0 0 - 16 - 12 0 12 - 16

A =   3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 A 2 + A + I =   18 0 0 0 - 16 - 12 0 12 - 16 +   3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 +   1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 22 0 0 0 - 16 - 9 0 9 - 16

Passo 5

Pela glória do senhor, chegamos na nossa letra (e), que tem mais um polinômiozinho pra gente resolver, p x = x 3 - 2 x + 4 , onde p A = A 3 - 2 A + 4 I .

A 3 =   27 0 0 0 26 - 18 0 18 26

2 A = 6 0 0 0 - 2 6 0 - 6 - 2

4 I = 4 0 0 0 4 0 0 0 4

A 3 - 2 A + 4 I =   27 0 0 0 26 - 18 0 18 26 - 6 0 0 0 - 2 6 0 - 6 - 2 + 4 0 0 0 4 0 0 0 4 = 25 0 0 0 32 - 24 0 24 32  

Resposta

  1. 27 0 0 0 26 - 18 0 18 26
  3. 4 0 0 0 - 5 - 12 0 12 - 5
  4. 1 0 - 1 0 - 3 3 0 - 3 - 3
  5. 22 0 0 0 - 16 - 9 0 9 - 16
  6. 25 0 0 0 32 - 24 0 24 32    
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