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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 26

Mostre que se p (x) = x^3 - ( a + b + c ) x^2 + (a b + a e + b e - c d) x - a ( b e - c d ) e

A = [[[a,0,0],[0,b,c],[0,d,e]]]

Então p (A) = 0 .

Passo 1

Show de bolinha pessoal, parecido com o exercício anterior esse aqui tem uma cara mais feia ainda, mas a gente consegue dar um jeitinho nela rsrs, saca só. Se o polinômio que ele deu é p (x) = x^3 - (a + b + c) x^2 + (a b + a e + b e - c d) x - a (b e - c d) , a gente pode passar ele pra forma matricial pra poder envolver a matriz A , desse jeito, p (A) = A^3 - (a + b + c) A^2 + (a b + a e + b e - c d) A - a (b e - c d) I . Agora o macete maroto é encontrar os termos separados e depois juntar tudo pra ver se realmente da 0 , e esse 0 na forma matricial vai ser

[[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]

Partiu fazer essa missão então.

Passo 2

Como p (A) = A^3 - (a + b + c) A^2 + (a b + a e + b e - c d) A - a (b e - c d) I . , vamos começar encontrando A^3

A^3 = [[[a,0,0],[0,b,c],[0,d,e]]] [[[a,0,0],[0,b,c],[0,d,e]]] [[[a,0,0],[0,b,c],[0,d,e]]] = underset(A^2)(underset(⏝)([[[a^2,0,0],[0,b^2,+,c,d,b,c,+,c,e],[0,b,d,+,d,e,c,d,+,e^2]]])) underset(A)(underset(⏝)([[[a,0,0],[0,b,c],[0,d,e]]])) =>

A^3 = [[[a^3,0,0],[0,b^3,+,2,b,c,d,+,c,d,e,b^2,c,+,c^2,d,+,c e^2,+,b,c,e],[0,c,d^2,+,b^2,d,+,d,e^2,+,b,d,e,b,c,d,+,e^3,+,2,c,d,e]]]

Passo 3

Como no passo anterior, a gente já encontrou A^2 , vamos então encontrar nosso outro termo (a + b + c) A^2

(a + b + c) A^2 = (a + b + c) [[[a^2,0,0],[0,b^2,+,c,d,b,c,+,c,e],[0,b,d,+,d,e,c,d,+,e^2]]] =>

a [[[a^2,0,0],[0,b^2,+,c,d,b,c,+,c,e],[0,b,d,+,d,e,c,d,+,e^2]]] + b [[[a^2,0,0],[0,b^2,+,c,d,b,c,+,c,e],[0,b,d,+,d,e,c,d,+,e^2]]] + d [[[a^2,0,0],[0,b^2,+,c,d,b,c,+,c,e],[0,b,d,+,d,e,c,d,+,e^2]]] =>

[[[a^3,0,0],[0,a,b^2,+,a,c,d,a,b,c,+,a,c,e],[0,a,b,d,+,a,d,e,a,c,d,+,a e^2]]] + [[[b a^2,0,0],[0,b^3,+,b,c,d,b^2,c,+,b,c,e],[0,b^2,d,+,b,d,e,b,c,d,+,b e^2]]] + [[[c a^2,0,0],[0,c,b^2,+,c^2,d,b,c^2,+,c^2,e],[0,c,b,d,+,c,d,e,c^2,d,+,c e^2]]] =>

= [[[a^3,+,b,a^2,+,c,a^2,0,0],[0,a,b^2,+,a,c,d,+,b^3,+,b,c,d,+,c,b^2,+,c^2,d,a,b,c,+,a,c,e,+,b^2,c,+,b,c,e,+,b,c^2,+,c^2,e],[0,a,b,d,+,a,d,e,+,b^2,d,+,b,d,e,+,c,b,d,+,c,d,e,a,c,d,+,a e^2,+,b,c,d,+,b e^2,+,c^2,d,+,c e^2]]]

Passo 4

Vamo lá que tá acabando, agora a gente tem que encontrar o terceiro termo, (a b + a e + b e - c d) A

(a b + a e + b e - c d) A = (a b + a e + b e - c d) [[[a,0,0],[0,b,c],[0,d,e]]] =>

= [[[(a b + a e + b e - c d),a,0,0],[0,(a b + a e + b e - c d),b,(a b + a e + b e - c d),c],[0,(a b + a e + b e - c d),d,(a b + a e + b e - c d),e]]] =>

= [[[a^2,b,+,a^2,e,+,a,b,e,-,a,c,d,0,0],[0,a,b^2,+,b,a,e,+,b^2,e,-,b,c,d,a,b,c,+,a,e,c,+,b,e,c,-,c^2,d],[0,a,b,d,+,a,e,d,+,b,e,d,-,c,d^2,a,b,e,+,a,e^2,+,b,e^2,-,c,d,e]]]

Passo 5

Xuxu beleza, por último mas não menos importante, nosso quarto termo a (b e - c d) I

a (b e - c d) I = a (b e - c d) [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]] =>

a (b e - c d) I = [[[a,(b e - c d),0,0],[0,a,(b e - c d),0],[0,0,a,(b e - c d)]]] =>

a (b e - c d) I = [[[(a b e - a c d),0,0],[0,(a b e - a c d),0],[0,0,(a b e - a c d)]]]

Passo 6

Agora depois dessa maratona, a gente tem todos os elementos do nosso polinômiozinho iti malia

p (A) = A^3 - (a + b + c) A^2 + (a b + a e + b e - c d) A - a (b e - c d) I

Mas ai tu me pergunta, poxaann, a gente vai ter que somar todas aquelas matrizes monstruosas que nós acabamos de encontrar?! Claro que não meu contemplado, pensa aqui comigo, pra esse polinômio dar 0 , todos os elementos da matriz final tem que ser 0 tambem

p (0) = [[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]

Tá mais que que isso tem a ver?!

Isso quer dizer que se por acaso eu encontrar algum elemento que seja diferente de 0 , nossa afirmação vai ser FALSA e a gente pode ser feliz pra sempre. Então bora tentar pro nosso primeiro elemento a_11 de cada termo.

a_11 d e A^3 = [[[a^3]]]

a_11 d e (a + b + c) A^2 = [ a^3 + b a^2 + c a^2 ]

a_11 d e (a b + a e + b e - c d) A = [ a^2 b + a^2 e + a b e - a c d ]

a_11 d e a (b e - c d) I = [ (a b e - a c d) ]

Então pro nosso elemento a_11 de p ( A ) vamos ter:

A^3 - (a + b + c) A^2 + (a b + a e + b e - c d) A - a (b e - c d) I =>

=> [[[a^3]]] - [ a^3 + b a^2 + c a^2 ] + [ a^2 b + a^2 e + a b e - a c d ] - [ (a b e - a c d) ] =>

a_11 d e p (A) = [[[-,a^2,c,+,a^2,e]]] != 0

Logo de cara nosso primeiro elemento a_11 é diferente de 0 . Nesse caso a afirmação do exercício é FALSA.

Resposta

F a l s a

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