Considere o plano .

a) Determine uma base ortonormal para o plano em que o primeiro vetor esteja no plano .

Tomando que , temos:

Ainda assim, temos apenas uma equação e dois parâmetros, portanto, vamos dar um valor qualquer para um deles, tal como , portanto, temos que:

Eu coloquei o em evidência apenas para bater com o resultado do livro, mas não é necessário! O nosso primeiro vetor é então .

Precisamos de um segundo vetor, a escolha dele é de certa forma arbitrária, mas é necessário escolher um vetor que não esteja no plano , uma vez que o vetor normal ao plano dado no enunciado não está unicamente apontado para a direção , desta forma, vamos tomar agora , para obter:

Dando um valor qualquer para um dos parâmetros , temos:

Novamente, eu coloquei em evidência apenas para termos equivalência com a resposta do livro. Então o nosso segundo vetor é da forma:

Será que esta é uma base ortogonal? Vamos descobrir!

Primeiro, vamos checar se ambos os vetores são ortogonais, ou seja:

Portanto, não são ortogonais! E agora? Agora vamos ter que construir uma base que seja!

Podemos aplicar o método de Gram-Schmidt para encontrar o restante da base ortogonal, beleza? O método é tal que utilizamos a projeção ortogonal de um vetor sobre o outro para garantirmos sua ortogonalidade, saca só!

e

Ou seja, escolhemos um vetor inicial e vamos obter o segundo vetor desta base!

Utilizando os resultados obtidos até agora, temos:

Calculando o módulo de , temos:

Temos então que

Nenhum dos dois vetores está normalizado! Então ainda precisamos fazer isso para que nossa base seja ortonormal, bora lá!

Utilizando a definição:

temos que:

Utilizando que

portanto, temos finalmente que

Temos assim a nossa base ortonormal para o plano! Bora para a próxima alternativa!