Enunciado

Considere o plano π : 3 x - 3 y + 2 z = 0 .

a) Determine uma base ortonormal para o plano em que o primeiro vetor esteja no plano x y .

Passo 1

Eaew, tudo em cima contigo?

O enunciado nos dá uma equação do plano e pede para acharmos uma base ortonormal. Nos exercícios da seção anterior realizamos exercícios bem similares! A primeira coisa a se fazer é achar vetores que possam ser base do subespaço formado pela equação do plano. No entanto, ele pede explicitamente que o primeiro vetor esteja no plano x y , vamos começar por aí!

Passo 2

Tomando que z = 0 , temos:

3 x - 3 y = 0

Ainda assim, temos apenas uma equação e dois parâmetros, portanto, vamos dar um valor qualquer para um deles, tal como x = α , portanto, temos que:

( α , 3 3 α , 0 ) = α 3 ( 3 , 3,0 ) = β ( 3 , 3,0 )

Eu coloquei o 3 em evidência apenas para bater com o resultado do livro, mas não é necessário! O nosso primeiro vetor é então V 1 = ( 3 , 3,0 ) .

Passo 3

Precisamos de um segundo vetor, a escolha dele é de certa forma arbitrária, mas é necessário escolher um vetor que não esteja no plano x y , uma vez que o vetor normal ao plano dado no enunciado não está unicamente apontado para a direção z , desta forma, vamos tomar agora y = 0 , para obter:

3 x + 2 z = 0

Dando um valor qualquer para um dos parâmetros ( x = β ) , temos:

( β , 0 , - 3 2 β ) = β ( 1,0 , - 3 / 2 ) = - β 2 ( - 2,0 , 3 )

Novamente, eu coloquei - 1 / 2 em evidência apenas para termos equivalência com a resposta do livro. Então o nosso segundo vetor é da forma:

V 2 = ( - 2,0 , 3 )

Será que esta é uma base ortogonal? Vamos descobrir!

Passo 4

Primeiro, vamos checar se ambos os vetores são ortogonais, ou seja:

V 1 ⋅ V 2 = 0 → - 2 3 ≠ 0

Portanto, não são ortogonais! E agora? Agora vamos ter que construir uma base que seja!

Passo 5

Podemos aplicar o método de Gram-Schmidt para encontrar o restante da base ortogonal, beleza? O método é tal que utilizamos a projeção ortogonal de um vetor sobre o outro para garantirmos sua ortogonalidade, saca só!

W 1 = V 1

e

W 2 = V 2 - p r o j W 1 V 2 = V 2 - V 2 ⋅ W 1 | | W 1 | | 2 W 1

Ou seja, escolhemos um vetor inicial e vamos obter o segundo vetor desta base!

Passo 6

Utilizando os resultados obtidos até agora, temos:

W 2 = ( - 2,0 , 3 ) - ( - 2 3 ) | | W 1 | | 2 ( 3 , 3,0 )

Calculando o módulo de W 1 = V 1 , temos:

| | W 1 | | = ( 3 ) 2 + ( 3 ) 2 + ( 0 2 ) = 12 = 2 3

Temos então que

W 2 = ( - 2,0 , 3 ) + 1 2 3 ( 3 , 3,0 ) → W 2 = ( - 2 + 1 / 2,0 + 3 / 2 3 , 3 + 0 ) →

→ W 2 = ( - 3 / 2 , 3 / 2,3 )

Nenhum dos dois vetores está normalizado! Então ainda precisamos fazer isso para que nossa base seja ortonormal, bora lá!

Passo 7

Utilizando a definição:

V N = V | | V | |

temos que:

W 1 N = 1 2 3 ( 3 , 3,0 )

Utilizando que

| | W 2 | | = ( - 3 / 2 ) 2 + ( 3 / 2 ) 2 + 3 2 = 3 + 9 = 2 3

portanto, temos finalmente que

W 2 N = 1 2 3 ( - 3 / 2 , 3 / 2,3 )

Temos assim a nossa base ortonormal para o plano! Bora para a próxima alternativa!

Resposta

W 1 N = 1 2 3 ( 3 , 3,0 )   e   W 2 N = 1 2 3 ( - 3 / 2 , 3 / 2,3 )

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