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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 16

Nos Exercícios 13-14, encontre as equações vetoriais e paramétricas da reta em R 2 que passa pela origem e é ortogonal a v .

16. v = 3 , 1 , - 6  

Passo 1

Para encontrar a equação vetorial, temos que recordar que a equação vetorial do plano que passa pela origem, é da forma:

x = t 1 v 1 + t 2 v 2

Porém, queremos um vetor ortogonal ao vetor v , logo, seja u = ( u 1 ,   u 2 ) o vetor genérico ortogonal a v , então temos que:

u ⋅  v = 0

u 1 ,   u 2 , u 3 ⋅ 3,1 , - 6     = 0

3 u 1 + 1 u 2 - 6 u 3 = 0

u 2 = 6 u 3 - 3 u 1

Logo, como tiramos uma condição sobre u 2 , basta fixar os componentes u 1 e u 3 , Assim temos que:

u = u 1 ,   6 u 3 - 3 u 1 ,     u 3 , para qualquer u 1 e u 3 real.

O outro vetor ortogonal, é qualquer vetor que segue a mesma condição.

Passo 2

Fazendo u 1 = u 3 = 1 , para o primeiro vetor, temos u 1 = 1 , 3 ,   1 e fazendo u 1 = 0 e u 3 = 1 , para o segundo vetor, temos u 2 = ( 0 , 6 , 1 ) , logo uma possível equação vetorial da reta é:

x = t 1 u 1 + t 2 u 2

x , y , z = t 1 1,3 ,   1   + t 2 ( 0,6 , 1 )

Passo 3

Agora para encontrar as equações paramétricas basta igualar os componentes dos dois lados da equação vetorial, veja só:

x , y , z = t 1 1,3 ,   1   + t 2 ( 0,6 , 1 )

x = t 1

y = 3 t 1 + 6 t 2

z = t 1 + t 2

Resposta

Uma resposta possível é a equação vetorial: x , y , z = t 1 1,3 ,   1   + t 2 ( 0,6 , 1 )

Equações paramétricas: x = t 1 , y = 3 t 1 + 6 t 2 e z = t 1 + t 2

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