Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 1

Considere as seguintes matrizes

A = 2 0 6 7 , B = 0 4 2 - 8 , C = - 6 9 - 7 7 - 3 - 2 , D = - 6 4 0 1 1 4 - 6 0 6 e E = 6 9 - 9 - 1 0 - 4 - 6 0 - 1

Se for possível calcule:

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho?

A questão nos deu as seguintes matrizes:

A = 2 0 6 7 , B = 0 4 2 - 8 , C = - 6 9 - 7 7 - 3 - 2 , D = - 6 4 0 1 1 4 - 6 0 6 e E = 6 9 - 9 - 1 0 - 4 - 6 0 - 1

No tem (a) nos foi solicitado A B - B A . Vamos lá, quanto é A B e quanto é B A ? Vamos calcular.

A · B = 2 0 6 7 · 0 4 2 - 8

A · B = 2 · 0 + 0 · 2 2 · 4 + 0 · - 8 6 · 0 + 7 · 2 6 · 4 + 7 · - 8

A · B = 0 8 14 - 32

E B A :

B · A = 0 4 2 - 8 · 2 0 6 7

B · A = 0 · 2 + 4 · 6 0 · 0 + 4 · 7 2 · 2 + - 8 · 6 2 · 0 + - 8 · 7

B · A = 24 28 - 44 - 56

Então A B - B A é:

A B - B A = 0 8 14 - 32 - 24 28 - 44 - 56

A B - B A = 0 - 24 8 - 28 14 - - 44 - 32 - - 56

A B - B A = - 24 - 20 58 24

Passo 2

No item (b) foi pedido 2 C - D . Dado:

C = - 6 9 - 7 7 - 3 - 2 e D = - 6 4 0 1 1 4 - 6 0 6

Nesse caso, observamos que a operação não pode ser realizada pois as matrizes são de ordens diferentes, ou seja, o numero de linhas e/ou de colunas são diferentes impossibilitando a operação.

Passo 3

No item (d) temos que calcular ( 2 D t - 3 E t ) t , ou seja, a transposta do dobro de D menos a transposta do triplo de E e o resultado transposto...

Na pratica é bem simples, vemos que a transposição de uma matriz é quando transformamos suas linhas em colunas e colunas em linhas, ou seja, a 1° linha vira a 1° coluna, a 2° linha vira a 2° coluna, assim por diante. Se ainda não ficou claro, imagine você pegando um espeto e enfiando na diagonal principal da matriz, entrando no a 1 X 1 e saindo no a i X j e depois você gira a matriz (só não fale isso para seu professor pois ele pode morrer de desgosto).

Vamos calcular 2 D t :

2 D t = 2 - 6 4 0 1 1 4 - 6 0 6 t

2 D t = - 12 8 0 2 2 8 - 12 0 12 t

2 D t = - 12 2 - 12 8 2 0 0 8 12

Agora 3 E t :

3 E t = 3 6 9 - 9 - 1 0 - 4 - 6 0 - 1 t

3 E t = 18 27 - 27 - 3 0 - 12 - 18 0 - 3 t

3 E t = 18 - 3 - 18 27 0 0 - 27 - 12 - 3

Aplicando a operação 2 D t - 3 E t :

2 D t - 3 E t = - 12 2 - 12 8 2 0 0 8 12 - 18 - 3 - 18 27 0 0 - 27 - 12 - 3

2 D t - 3 E t = - 30 5 6 - 19 2 0 27 20 15

Por fim:

( 2 D t - 3 E t ) t = - 30 5 6 - 19 2 0 27 20 15 t

( 2 D t - 3 E t ) t = - 30 - 19 27 5 2 20 6 0 15

Passo 4

No item (d) vamos calcular D 2 - D E .

Vamos ver quem é D ² :

D 2 = D · D = - 6 4 0 1 1 4 - 6 0 6 · - 6 4 0 1 1 4 - 6 0 6

D 2 = - 6 · - 6 + 4 · 1 + 0 · 6 - 6 · 4 + 4 · 1 + 0 · 0 - 6 · 0 + 4 · 4 + 0 · 6 1 · - 6 + 1 · 1 + 4 · - 6 1 · 4 + 1 · 1 + 4 · 0 1 · 0 + 1 · 4 + 4 · 6 - 6 · - 6 + 0 · 1 + 6 · - 6 - 6 · 4 + 0 · 1 + 6 · 0 - 6 · 0 + 0 · 4 + 6 · 6

D 2 = 40 - 20 16 - 29 5 28 0 - 24 36

Agora D E :

D · E = - 6 4 0 1 1 4 - 6 0 6 · 6 9 - 9 - 1 0 - 4 - 6 0 - 1

D · E = - 6 · 6 + 4 · - 1 + 0 · - 6 - 6 · 9 + 4 · 0 + 0 · 0 - 6 · - 9 + 4 · - 4 + 0 · 1 1 · 6 + 1 · - 1 + 4 · - 6 1 · 9 + 1 · 0 + 4 · 0 1 · - 9 + 1 · - 4 + 4 · - 1 - 6 · 6 + 0 · - 1 + 6 · - 6 - 6 · 9 + 0 · 0 + 6 · 0 - 6 · - 9 + 0 · - 4 + 6 · - 1

D · E = - 40 - 54 38 - 19 9 - 17 - 72 - 54 48

Portanto D 2 - D E :

D 2 - D E = 40 - 20 16 - 29 5 28 0 - 24 36 - - 40 - 54 38 - 19 9 - 17 - 72 - 54 48

D 2 - D E = 40 - - 40 - 20 - - 54 16 - 38 - 29 - - 19 5 - 9 2 8 - - 17 0 - - 72 - 24 - - 54 36 - 48

D 2 - D E = 80 34 - 22 - 10 - 4 4 5 72 30 - 12

Foi tranquilo? Bora pra próxima!

Resposta

(a) A B - B A = - 24 - 20 58 24

(b) impossível

(c) ( 2 D t - 3 E t ) t = - 30 - 19 27 5 2 20 6 0 15

(d) D 2 - D E = 80 34 - 22 - 10 - 4 4 5 72 30 - 12