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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 1

Considere as seguintes matrizes de M 3 ( R ) :

A = 1 0 0 0 2 0 0 0 4 e     B = 4 0 0 0 2 0 0 0 1

Mostre que A B = B A . Pode-se concluir daí que é válida a propriedade comutativa da multiplicação em M 3 ( R ) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro vamos verificar que A B = B A . Então bora fazer as continhas:

A B = 1 0 0 0 2 0 0 0 4 4 0 0 0 2 0 0 0 1 = 4 0 0 0 4 0 0 0 4

B A = 4 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 4 = 4 0 0 0 4 0 0 0 4

Logo, A B = B A . Mas podemos concluir que a propriedade comutativa vale pra todos os casos só porque nesse funcionou?

Vamos tentar achar um contraexemplo para mostrar que nem sempre isso vai ser verdade?!

E se A = 1 2 1 0 1 0 0 0 0 e B = 1 2 2 0 1 1 0 0 1 , será que A B = B A ? Vamos conferir!

A B = 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 2 2 0 1 1 0 0 1 = 1 4 5 0 1 1 0 0 0  

B A = 1 2 2 0 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 = 1 4 1 0 1 0 0 0 0

Logo, A B ≠ B A . Então podemos concluir daí que não válida a propriedade comutativa da multiplicação em M 3 ( R ) . Beleza?

Isso se deve ao fato de que na multiplicação de matrizes, é feito o produto escalar de uma linha da matriz A com uma coluna da matriz B. Então, quando invertida a multiplicação, os números que vão multiplicar não são mais os mesmos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Efetue os produtos A B e B A onde A = 2 1 1 e B = 1 2 1
Sendo A e B as matrizes do exercício proposto 1, determine matrizes X , Y ∈ M 3 R de maneira que: 2 X - Y = A + B X + Y = A - B
Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz: a 1 0 0 a 1 0 0 a Onde a é um número real.
Seja B uma matriz real de ordem 2 que comuta com a matriz A = 1 2 0 3 Mostre que existem números reais a e b tais que B = a A + b I 2