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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 11

Seja B   uma matriz real de ordem 2 que comuta com a matriz

A = 1 2 0 3

Mostre que existem números reais a e b tais que

B = a A + b I 2

Passo 1

Vamos considerar

B = x y z w

Para conseguirmos fazer as continhas.

Para resolver vamos partir da informação que nos é dada no enunciado:

A B = B A

Beleza?!

Passo 2

Como no enunciado diz que A B = B A , podemos escrever

1 2 0 3 x y z w = x y z w 1 2 0 3

Fazendo as multiplicações, teremos

x + 2 z y + 2 w 3 z 3 w = x 2 x + 3 y z 2 x + 3 w

Como duas matrizes são iguais, se e somente se, os seus elementos correspondentes também o são, vamos trabalhar com as seguintes igualdades:

x + 2 z = x ⟶ 2 z = 0

y + 2 w = 2 x + 3 y ⟶ 2 x + 2 y - 2 w = 0 ⟶ x + y = w

3 z = z ⟶ z = 0

3 w = 2 z + 3 w ⟶ z = 0

Então teremos a matriz

B = x y 0 x + y

Passo 3

Queremos mostrar que existem números reais a e b ... beleza? Para mostrar que existe basta mostrar um caso que satisfaz

B = a A + b I 2

Teremos

a A + b I 2 = a 2 a 0 3 a + b 0 0 b = a + b 2 a 0 3 a + b

Igualando a B B = a A + b I 2 = x y 0 x + y = a + b 2 a 0 3 a + b

Da igualdade acima, vemos que:

a + b = x 2 a = y 3 a + b = x + y

Resolvendo o sistema, temos que

a = y 2   e   b = x - y 2

Resposta

a = y 2   e   b = x - y 2

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14. Use o resultado no Exercício 10 para mostrar que o conjunto de pontos (x,y,z) em R 3 com os quais a matriz x y z 1 x y Tem posto 1 é a curva de equações paramétricas x = t , y = t 2 , z = t 3 .
Verifique que x A1 + y A2 + z A3 = AX, em que Aj e a j-esima coluna de A, para j = 1, 2, 3
(b) 2C − D
Encontre um valor de x tal que ABt = 0, em que A = [x 4 -2] e B = [2 -3 5]
(a) AB é diferente de BA.