Seja uma matriz real de ordem 2 que comuta com a matriz
Mostre que existem números reais e tais que
Passo 1
Vamos considerar
Para conseguirmos fazer as continhas.
Para resolver vamos partir da informação que nos é dada no enunciado:
Beleza?!
Passo 2
Como no enunciado diz que , podemos escrever
Fazendo as multiplicações, teremos
Como duas matrizes são iguais, se e somente se, os seus elementos correspondentes também o são, vamos trabalhar com as seguintes igualdades:
Então teremos a matriz
Passo 3
Queremos mostrar que existem números reais e ... beleza? Para mostrar que existe basta mostrar um caso que satisfaz
Teremos
Igualando a
Da igualdade acima, vemos que:
Resolvendo o sistema, temos que