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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 3

Sendo A e B as matrizes do exercício proposto 1, determine matrizes X , Y ∈ M 3 R de maneira que:

2 X - Y = A + B X + Y = A - B

Passo 1

As matrizes do exercício 1 são essas aqui:

A = 1 0 0 0 2 0 0 0 4 e     B = 4 0 0 0 2 0 0 0 1

Beleza?

Vamos usar matrizes genéricas para X e Y para ter uma noção melhor do que vai acontecer.

X =   x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 e Y = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9

Assim, no sistema 2 X - Y = A + B X + Y = A - B

Teremos

2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 x 6 2 x 7 2 x 8 2 x 9 - y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 = 5 0 0 0 4 0 0 0 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 + y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 = - 3 0 0 0 0 0 0 0 3

Show de bola?!

Passo 2

Se você reparar os elementos que não são da diagonal principal podem ser todos 0 , pois vai satisfazer ambas as equações.

O que nos interessa é encontrar os valores dos elementos das diagonais principais.

Vamos começar com o x 1 e y 1 . Eles precisam satisfazer

2 x 1 - y 1 = 5 x 1 + y 1 = - 3

Resolvendo o sistema conseguimos encontrar x 1 = 2 3 e y 1 = - 11 3 .

Passo 3

Vamos utilizar o mesmo procedimento para encontrar os valores dos próximos elementos das diagonais principais.

Vamos pro x 5 e y 5 ! Eles precisam satisfazer

2 x 5 - y 5 = 4 x 5 + y 5 = 0

Resolvendo o sisteminha encontramos x 5 = 4 3 e y 1 = - 4 3 .

Por último, encontraremos os valores de x 9 e y 9 através do sistema

2 x 9 - y 9 = 5 x 9 + y 9 = 3

Fazendo as contas, encontramos x 9 = 8 3 e y 9 = 1 3 .

Logo, as matrizes X e Y são

X = 2 3 0 0 0 4 3 0 0 0 8 3 e     Y = - 11 3 0 0 0 - 4 3 0 0 0 1 3

Resposta

As matrizes X e Y são

X = 2 3 0 0 0 4 3 0 0 0 8 3 e     Y = - 11 3 0 0 0 - 4 3 0 0 0 1 3

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