Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz:

a 1 0 0 a 1 0 0 a

Onde a é um número real.

Passo 1

Vamos chamar a matriz do enunciado de A , beleza?

E vamos usar uma matriz genérica de ordem 3

B =   x y z r t k v u w

Onde A B = B A .

Passo 2

Fazendo então A B = a 1 0 0 a 1 0 0 a x y z r t k v u w =   x a + r a y + t a z + k a r + v a t + u a k + w a v a u a w

E também

B A = x y z r t k v u w a 1 0 0 a 1 0 0 a =   a x x + a y a z + y a r r + a t a k + t a v v + a u a w + u

Como A B = B A ,

  a x x + a y a z + y a r r + a t a k + t a v v + a u a w + u   = x a + r a y + t a z + k a r + v a t + u a k + w a v a u a w

Agora aqui vamos usar aquele princípio de que duas matrizes são iguais, se e somente se, os seus elementos correspondentes também o são.

Então, vamos trabalhar com as seguintes igualdades:

a x + r = a x ⇒ r = 0 ;

a r + v = a r   ⇒ v = 0 ;

a t + u = a t + r ⇒ u = r = 0 ;

a y + t = a y + x ⇒ x = t ;

a z + k = a z + y ⇒ k = y ;

a k + w = a k + t ⇒ w = t = x .

Daí podemos concluir que as matrizes de ordem 3 que comutam com a matriz A   são da forma

x y z 0 x y 0 0 x

Show de bola?

Resposta

As matrizes de ordem 3 que comutam com a matriz A   são da forma

x y z 0 x y 0 0 x

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