Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz:
Onde é um número real.
Passo 1
Vamos chamar a matriz do enunciado de , beleza?
E vamos usar uma matriz genérica de ordem 3
Onde .
Passo 2
Fazendo então
E também
Como ,
Agora aqui vamos usar aquele princípio de que duas matrizes são iguais, se e somente se, os seus elementos correspondentes também o são.
Então, vamos trabalhar com as seguintes igualdades:
Daí podemos concluir que as matrizes de ordem 3 que comutam com a matriz são da forma
Show de bola?
Resposta
As matrizes de ordem 3 que comutam com a matriz são da forma
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Se A , B in M_n ( R ) e se A B = B A , prove que:A) (A - B)^2 = A^2 - 2 A B + B^2 B) (A - B) (A + B) = A^2 - B^2 C) (A - B) (A^2 + A B + B^2) = A^3 - B^3
Mostrar que se A = ([[2,3],[1,4]]) Então A^2 - 6 A + 5 I_2 = 0 (matriz nula).
Se A ,B ∈M n ( R ) são tais que A B = 0 (matriz nula), pode-se concluir que B A também é a matriz nula? Prove ou contra-exemplifique.
Mostrar que a matriz 1 1 y y 1 Onde y é um número real não nulo, verificam a equação X 2 = 2 X .
Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz 0 1 - 1 0 Mostre que A B = B A .