Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 9
Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz:
Onde é um número real.
Passo 1
Vamos chamar a matriz do enunciado de , beleza?
E vamos usar uma matriz genérica de ordem 3
Onde .
Passo 2
Fazendo então
E também
Como ,
Agora aqui vamos usar aquele princípio de que duas matrizes são iguais, se e somente se, os seus elementos correspondentes também o são.
Então, vamos trabalhar com as seguintes igualdades:
Daí podemos concluir que as matrizes de ordem 3 que comutam com a matriz são da forma
Show de bola?
Resposta
As matrizes de ordem 3 que comutam com a matriz são da forma
Exercícios de Livros Relacionados
Se A , B∈M n ( R ) e se A B = B A , prove que:A) A - B 2 = A 2 - 2 A B + B 2 B) A - B A + B = A 2 - B 2 C) A - B A 2 + A B + B 2 = A 3 - B 3
Mostrar que se A = 2 3 1 4 Então A 2 - 6 A + 5 I 2 = 0 (matriz nula).
Se A ,B ∈M n ( R ) são tais que A B = 0 (matriz nula), pode-se concluir que B A também é a matriz nula? Prove ou contra-exemplifique.
Mostrar que a matriz 1 1 y y 1 Onde y é um número real não nulo, verificam a equação X 2 = 2 X .
Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz 0 1 - 1 0 Mostre que A B = B A .