Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 25
25 Considere os sistemas lineares
(a) Encontre uma solução geral do sistema homogêneo.
(b) Confirme que x1=1, x2=0, x3=1 é uma solução do sistema não homogêneo.
(c) Use os resultados das partes (a) e (b) para encontrar uma solução geral do sistema não homogêneo.
(d) Confira sua resposta na parte (c) resolvendo diretamente o sistema não homogêneo.
Passo 1
a)
O sistema linear homogêneo é o seguinte:
Podemos escrever o sistema na forma de equações:
Perceba que a segunda equação é igual a vezes a primeira equação e que a terceira equação é igual a vez a primeira equação. Ou seja, essas equações são combinações lineares uma das outras. Dessa forma podemos usar somente uma delas:
Como só temos uma equação e três incógnitas vamos precisar de duas variáveis livres. Vamos definir:
e
Então:
A solução geral do sistema fica dessa forma:
Passo 2
b)
Vamos testar essa solução, , para o sistema não homogêneo. Primeiro vamos escrever esse sistema na forma de equações.
Testando para a primeira equação:
Deu certo. Agora para a segunda:
Também deu certo. E por ultimo, para aterceira equação:
E deu certo tabém para essa equação. Ou seja essa é uma solução do sistema não homogêneo:
Passo 3
c)
Usando o teorema 3.4.4 sabemos que a solução geral de um sistema não homogêneo pode ser obtida somando uma solução especifica qualquer do sistema não homogêneo com a solução geral do sistema homogêneo. Isso quer dizer que precisamos somar as soluções encontradas nas letras (a) e (b):
E é só isso ai.
Passo 4
d)
Vamos testar essa solução, , para o sistema não homogêneo:
Testando para a primeira equação:
Deu certo. Agora para a segunda:
Também deu certo. E por ultimo, para aterceira equação:
E deu certo tabém para essa equação. Ou seja, essa realmente é a solução geral do sistema não homogêneo:
Resposta
a)
c)