Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 10

Considere o subespaço W de R 3 gerado por v 1 = 1,0 , 0 ,   v 2 = ( 0,1 , 1 ) e v 3 = ( 1 , - 1 , - 1 ) . Sendo < , > o produto interno canônico (a) Ache W ; (b) Exiba uma transformação linear T : R 3 → R 3 tal que I m T = W e ker ⁡ ( T ) = W ⊥ .

Passo 1

  1. Nós temos o conjunto gerador de W , mas para caracterizá-lo melhor é interessante que a gente encontre sua base e sua dimensão.

    Para isso, vamos fazer uma combinação linear nula de seus geradores, veja:

    a 1,0 , 0 + b 0,1 , 1 + c 1 , - 1 , - 1 = 0

    Que gera o sistema:

    a + c = 0 b - c = 0 b - c = 0

    Do qual a gente extrai que:

    a = - c   e   b = c

    Ou seja:

    - c 1,0 , 0 + c 0,1 , 1 + c 1 , - 1 , - 1 = 0

    Escolhendo um c não nulo, podemos escrever:

    1,0 , 0 = 0,1 , 1 + ( 1 , - 1 , - 1 )

    Então vamos descartar o vetor ( 1,0 , 0 ) .

    Veja que é impossível os dois vetores restantes serem LD, visto que a primeira componente do vetor ( 1 , - 1 , - 1 ) não pode ser “zerada” usando apenas o outro vetor. Então a base de W é:

    β = { 0,1 , 1 , ( 1 , - 1 , - 1 ) }

    E sua dimensão é 2.

    Passo 2

  2. Agora que a gente tem a base de W em mãos, a gente pode encontrar quem é W ⊥ .

Pra garantir que um vetor seja ortogonal a todos os vetores de um subespaço, basta que ele seja ortogonal à base desse subespaço. (Verifique!)

Vamos então fazer os produtos internos. Seja v ∈ W ⊥ , então:

< v , 0,1 , 1 >   = 0 < v , 1 , - 1 , - 1 >   = 0

Que gera o sistema:

y + z = 0 x - y - z = 0

Podemos então escrever v como:

0 , y , - y = y ( 0,1 , - 1 )

Do que segue que a base de W ⊥ é:

( 0,1 , - 1 )

Passo 2

Para que o ker ⁡ T = W ⊥ devemos ter que T 0,1 , - 1 = ( 0,0 , 0 ) . Além disso, para que I m T = W cada um dos vetores da base, isto é, ( 0,1 , 1 ) e ( 1 , - 1 , - 1 ) devem estar na imagem. Em outras palavras, alguém do domínio da transformação deve se relacionar com esses vetores por meio de T . Veja que podemos escolher T como sendo:

T 0,1 , - 1 = 0,0 , 0 ,   T 0 , 1 , 1 = 0,1 , 1 e   T 1 , - 1 , - 1 = ( 1 , - 1 , - 1 )

Observe que acima não temos informação redundante, pois os vetores formam uma base do R 3 . Verifique!

Passo 3

Para encontrarmos a expressão da transformação linear explicitamente, devemos fazer algumas manipulações no intuito de encontrar a transformação dos vetores da base canônica do R 3   .

Veja:

T 0,1 , 1 + T 1 , - 1 , - 1 = T 1,0 , 0 = ( 1,0 , 0 )

1 2 T 0,1 , - 1 + 1 2 T 0,1 , 1 = T 0,1 , 0 = ( 0 , 1 2 , 1 2   )

- 1 2 T 0,1 , - 1 + 1 2 T 0,1 , 1 = T 0,0 , 1 = ( 0 , 1 2 , 1 2   )

Logo, encontramos as colunas da matriz da transformação:

1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2

Do que temos que:

T x , y , z = x , y + z 2 , y + z 2

Resposta

  1. [ 0,1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 ] ;
  2. Por exemplo: T x , y , z = x , y + z 2 , y + z 2   .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja P 2 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Definimos em P 2 f , g =∫ - 1 1 f ( t ) g ( t ) d t Considere W o subespaço de P 2 gerado pelos vetores p t = 1 e q t = 1
Seja V = R 3 e S = { 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , ( 2,1 , 1 ) } .Encontre S ⊥ .Encontre uma base ortogonal para S e S ⊥ .Se S fosse [ 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , 2,1 , 1 ] , qual seria S ⊥ ? Neste caso, encontre uma b
Seja A = a i j n × n uma matriz quadrada. Definimos o traço de A , T r ( A ) , por ∑ i = 1 n a i i Calcule T r 2 - 1 3 5 T r A B = T ( B A ) ? T r A = T r ( A t ) ? T r A = T r A - 1 - 1 ? T r A B = T
Sejam A e B matrizes de M ( 2,2 ) . Define-seA , B= T r ( B t A ) Verifique que A , B é um produto interno.Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base 1 0 0 1 ,1 1 0 0 ,1