Exercícios de Propriedades do Produto Interno - Lista de Exercícios Resolvida

No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .

Mostre que se é positiva definida e são vetores não nulos tais que , então é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de ser linearmente independente).

Sejam vetores ortogonais dois a dois, isto é, se . Prove que

Provar que se e são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:

implica

implica

Considere o espaço vetorial munido de um produto interno com respeito ao qual:

Temos que é igual a:

a) 6

b) 35

c) 14

d) 1

e) 5

Sejam e vetores de um espaço euclidiano tais que , e . Determinar .

Num espaço vetorial euclidiano, provar que .

Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno.

Seja um conjunto ortogonal e . Mostre que

Conclua que se é um conjunto ortonormal, então para .

Sejam vetores tais que . Considere as afirmativas:

1. e são ortogonais.
2. É possível que

I e II são verdadeiras.

I é verdadeira e II é falsa

I é falsa e II é verdadeira

I e II são falsas.

Sejam e dois vetores ortogonais de , ambos com a norma .

Mostre que, se , então .

Seja uma transformação linear. Escreva a matriz de na base usando os produtos internos de e .

é chamada de autoadjunta se, para quaisquer dois vetores , vale:

Mostre que se é autoadjunta, então a matriz de na base é simétrica:

Verifique que é autoadjunta, mas que sua matriz na base não é simétrica.

No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .

Seja a rotação de no sentido trigonométrico em torno da origem. Mostre que é positiva definida, mas não é diagonalizável.

Considere vetores e tais que e e . Se , , e , determine e e represente todos esses vetores e ângulos em uma figura.

Considere o produto interno no espaço de polinômios de grau menor ou igual a definido por

Assinale um polinômio ortogonal a

Sejam e vetores de Considere as afirmativas abaixo:

Se , então

Se , então

(a) é verdadeira e é falsa

(b) Ambas são falsas

(c Ambas são verdadeiras

(d) é falsa e é verdadeira

Sejam e vetores unitários do

é necessariamente menor do que

Se e são ortogonais, então

(a) Ambas são falsas

(b) Ambas são verdadeiras

(c) é falsa e é verdadeira

(d) é verdadeira e é falsa

a) Mostre que em todo espaço vetorial com , se é uma base ortonormal de então temos

No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .

Mostre que se é positiva definida e são vetores não nulos tais que , então é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de ser linearmente independente).

Sejam um vetor de comprimento e um vetor de comprimento que formam um ângulo de radianos. Calcule o produto interno

Seja o conjunto das combinações lineares dos vetores e que são ortogonais ao vetor .

1. não é um subespaço vetorial de .
2. é um subespaço vetorial de de dimensão .
3. é um subespaço vetorial de de dimensão .
4. é um subespaço vetorial de de dimensão .

Seja um conjunto de vetores dois a dois ortogonais:

1. é ortogonal a
2. é ortogonal a

1. I é verdadeira e II é falsa.
2. Ambas são falsas.
3. I é falsa e II é verdadeira.
4. Ambas são verdadeiras.

Se os vetores e são ortogonais, então pode-se afirmar que:

1. e sã ortogonais.
2. e são ortogonais.
3. .

Considere as afirmativas:

(I) Existem vetores e em tais que e

(II) Quaisquer que sejam os vetores e em ,

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Sejam e então:

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja uma matriz real com colunas.

(I) Se , então a i-ésima entrada da j-ésima coluna de B é .

(II) para todo .

(a) (I) e (II) são verdadeiras.

(b) (I) e (II) são falsas.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Seja espaço vetorial real com um certo produto interno dado, tal que é uma base ortonormal com relação a este .

1. Seja e . Calcule .
2. Determine a expressão deste produto interno, .

Sejam e vetores.

a) Prove que .

Sabendo que , e

b1) Calcule .

b2) Calcule .

Seja um conjunto ortonormal:

(a) é falsa e é verdadeira

(b) Ambas são falsas

(c) Ambas dão verdadeiras

(d) é verdadeira e é falsa