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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 15

Sejam A e B matrizes de M ( 2,2 ) . Define-se

< A , B > = T r ( B t A )

  1. Verifique que < A , B > é um produto interno.
  2. Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base 1 0 0 1 ,   1 1 0 0 ,   1 0 1 1 ,   1 1 1 1 .

Passo 1

  1. Vamos verificar os quatro axiomas:
    1. Seja A = a b c d , então: A t A = a c b d a b c d = a 2 + c 2 a b + c d a b + d c b 2 + d 2 . Logo: T r a 2 + c 2 a b + c d a b + d c b 2 + d 2 = a 2 + c 2 + b 2 + d 2 ≥ 0 . Onde a igualdade ocorre somente quando a = b = c = d = 0 .
    2. < α A , B >   = T r m p n q α a α c α b α d =

      3. = T r m α a + p α b m α c + p α d n α a + q α b n α c + q α d = m α a + p α b + n α c + q α d =

      = α m a + p b + n c + q d = T r α m + p b m c + p d n a + q b n c + q d = T r m p n q α a c b d = α < A , B >

    3. Antes de continuar esse passo, lembre-se que:

      4. A + B T = A T + B T

      E que:

      T r A + B = T r A + T r ( B )

      Então vamos lá.

      Queremos: < A + B T , C > = < A T + B T , C >   = T r A T + B T C

      Mas:

      T r A T + B T C = T r A T C + B T C = T r A T C + T r B T C =

      =   < A , C > + < B , C >

    4. < A , B > = T r ( A T B )

    A ideia aqui nesse questão é lembrar que:

    T r A T = T r ( A )

    Ou seja:

    T r A T B = T r A T B T = T r B T A T T = T r ( B T A )

    Mas:

    T r B T A =   < B , A >

    Ou seja, < A , B > é um produto interno.

    Passo 2

  2. Bom, vamos seguir o mecanismo padrão.

u 1 = 1 0 0 1

Calculando a norma:

< u 1 , u 1 >   = T r 1 0 0 1 1 0 0 1 = 2

Ou seja:

u 1 = 2

e 1 = 1 2 1 0 0 1

Passo 2

Continuando:

u 2 = 1 1 0 0 - < 1 1 0 0 , 1 0 0 1 > 1 0 0 1 < u 1 , u 1 >

Calculando, a gente tem:

< 1 1 0 0 , 1 0 0 1 > = T r 1 0 1 0 1 0 0 1 = 1

Ou seja:

u 2 = 1 1 0 0 - 1 2 1 0 0 1 = 1 2 1 0 - 1 2

Sua norma:

< u 2 , u 2 >   = T r 1 2 0 1 - 1 2 1 2 1 0 - 1 2 = 1 4 + 5 4 = 3 2

Logo:

e 2 = 2 √ 6   1 2 1 0 - 1 2  

Passo 3

Basta repetir o processo até o fim utilizando o produto interno fornecido.

Resposta

  1. Demonstação;
  2. 1 2 1 0 0 1 , 2 √ 6   1 2 1 0 - 1 2 ,   0 0 1 0 , 1 3 - 1 1 0 1 .
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