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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.1 - Ex. 17

Considere o triângulo A B C e sejam M o ponto médio de B C , N o ponto médio de A C e P o ponto médio de A B . Mostre que as medianas (os segmentos A M , B N   e   C P ) se cortam num mesmo ponto que divide

Passo 1

Fala aeeeee, pessoal. Tudo na paz?

Vamos mostrar que as medianas A M e B N se intersectam no ponto G , dividindo A M e B N na razão 2 para 1:

A G → = 2 3 A M →

B G → = 2 3 B N →

Passo 2

Observando com calma o triângulo iremos perceber que:

C B → =   A B → - A C →

Logo:

A M → = A C → + C M → = A C → + 1 2 C B →

A M → =   A C → + 1 2 A B → - A C →

A M → = 1 2 A B → + 1 2 A C →   ( i )

Passo 3

Observando a mediana B N , temos:

B N → = B A → + A N →

B N → = - A B → + 1 2 A C →   ( i i )

Passo 4

Como os pontos A , G e M são colineares, temos:

A G → = λ A M →

Substituindo ( i )

A G → = λ ( 1 2 A B → + 1 2 A C → )

De maneira análoga:

B G → = α B N →

Substituindo ( i i )

B G → = α ( - A B → + 1 2 A C → )  

Passo 5

Uma equação envolvendo os vetores A G → e B G → é:

B G → = B A → + A G →

α - A B → + 1 2 A C → = - A B → + λ 2 ( A B → + A C → )

Isolando os vetores A B →   e   A C → , obtemos:

A B → - α + 1 - λ 2 + A C → α 2 - λ 2 =   0 →

Passo 6

Como os vetores são linearmente independentes, temos:

- α - λ 2 + 1 = 0 α 2 - λ 2 = 0

α = λ = 2 3

Portanto, concluímos que G divide tanto o segmento A M quanto o segmento B N na razão de 2 para 1.

Analogamente, o segmento C P também é dividido na razão 2 para 1.

Passo 7

Como o encontro das medianas ocorre no mesmo ponto, temos que:

G = H = I   e   G H → = 0 ,   G I → = 0 .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área do triângulo com vértices A = (1,2 , 1) , B = (3,0 , 4) e C = ( 5,1 , 3 ) .
Decomponha W = - i → - 3 j → + 2 k → como a soma de dois vetores W 1 e W 2 , com W 1 paralelo ao vetor j → + 3 k → e W 2 ortogonal a este último.
Sejam V = i → + 2 j → - 3 k → e W = 2 i → + j → - 2 k → . Determine vetores unitários paralelos aos vetores (c) 2 V - 3 W
Demonstre que, se V e W são vetores quaisquer, então: (a): V . W = 1 4 ( V + W 2 - V - W 2 )
Demonstre que se V e W são vetores quaisquer, então: (c): V - W ≤ V - W ;