Consideremos o seguinte produto interno no R 2 :

x 1 ,   y 1 ⋅ x 2 ,   y 2 = x 1 x 2 + 2 x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 + 5 y 1 y 2

Mostrar que, relativamente a esse produto interno, o conjunto A = { 1 ,   0 ,   2 ,   - 1 } é base ortonormal do R 2 .

Passo 1

Bom, se a base é ortonormal, ela atende duas condições: o módulo de todos os vetores é unitário, e todos os vetores são ortogonais entre si, ou seja, v i ⋅ v j = 0 , se i ≠ j , e v i ⋅ v i = 1 . Vamos testar essas paradas aí!

Passo 2

Primeiro vamos ver o produto interno de ( 1 ,   0 ) e ( 2 ,   - 1 ) usando a definição que ele deu:

1 ,   0 ⋅ 2 ,   - 1 = 1 2 + 2 1 - 1 + 2 2 0 + 5 0 - 1

1 ,   0 ⋅ 2 ,   - 1 = 0

Beleza, isso quer dizer que os dois são ortogonais. Agora vamos testar a outra propriedade.

Passo 3

Primeiro para ( 1 ,   0 ) :

1 ,   0 ⋅ 1 ,   0 = 1 1 + 2 1 0 + 2 1 0 + 5 0 0

1 ,   0 ⋅ 1 ,   0 = 1

Como a gente queria! Vamos ver o outro vetor agora:

2 ,   - 1 ⋅ 2 ,   - 1 = 2 2 + 2 2 - 1 + 2 2 - 1 + 5 - 1 - 1

2 , - 1 ⋅ 2 ,   - 1 = 4 - 4 - 4 + 5

2 ,   - 1 ⋅ 2 ,   - 1 = 1

Também bateu! Então show, se o conjunto atende a todas as propriedades, ele é uma base ortonormal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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