Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 19
Consideremos o seguinte produto interno no :
Mostrar que, relativamente a esse produto interno, o conjunto é base ortonormal do .
Passo 1
Bom, se a base é ortonormal, ela atende duas condições: o módulo de todos os vetores é unitário, e todos os vetores são ortogonais entre si, ou seja, , se , e . Vamos testar essas paradas aí!
Passo 2
Primeiro vamos ver o produto interno de e usando a definição que ele deu:
Beleza, isso quer dizer que os dois são ortogonais. Agora vamos testar a outra propriedade.
Passo 3
Primeiro para :
Como a gente queria! Vamos ver o outro vetor agora:
Também bateu! Então show, se o conjunto atende a todas as propriedades, ele é uma base ortonormal!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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2. (a) Mostre que a matriz A = 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 - 2 3 - 1 3 2 3 é ortogonal.(b) Seja T : R 3 → R 3 a multiplicação pela matriz A da parte ( a ) . Encontre T ( x ) com o vetor x = - 2 , 3 , 5
3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2
5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.
3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2
5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.