Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 8
Verificar a desigualdade de Cauchy quando se tem:
- e o produto interno do problema 1b.
- e e o produto interno do problema 5.
Passo 1
A desigualdade de Cauchy diz que:
Ou seja, a norma do produto interno é menor que o produto interno da norma.
Vamos aplicar isso nos nossos casos então...
Passo 2
- O produto interno do problema 1b é
- Vamos fazer a mesma coisa só que agora com o produto interno do número 5, que é:
No nosso caso então:
A norma então é
Temos que a norma de é:
E a de ...
Então, pela desigualdade temos que:
Vemos que isso é verdadeiro, então tá comprovada a desigualdade.
Passo 3
Temos que:
Então:
Agora, a gente faz a norma de cada um...
Agora a gente joga isso na desigualdade...
E tá comprovada a desigualdade de novo😉
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Se u =a 1 b 1 c 1 d 1ev =a 2 b 2 c 2 d 2 São matrizes quaisquer de M(2,2), a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço: u ∙ v = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 Dados os vetores: u
Consideremos no R 3 , o produto interno usual. Para que valores de m os vetores uev são ortogonais? u = 3 m , 2 , - m e v = - 4,1 , 5 u = ( 0 , m - 1,4 ) e v = ( 5 , m - 1 , - 1 )
Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 , p 2 = 3 x -
Seja V = R 3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u ∈ R 3 ortogonal aos vetores v 1 = 1,1 , 2 ,v 2 = 5,1 , 3ev 3 = ( 2 , - 2 , - 3 ) .
No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .