Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 4
Provar as seguintes proposições:
- Se um operador linear admite como valor próprio, então não é inversível.
- Uma matriz e sua transposta possuem os mesmos valores próprios.
- Os valores próprios de uma matriz triangular (ou diagonal) são os elementos da diagonal principal.
Passo 1
- Se liga, se uma matriz é inversível, ela atende a uma propriedade: o determinante dela é diferente de . Beleza? Mas se for valor próprio da matriz,
- Galera, como , elas vão possuir o mesmo polinômio característico! Mas ué, se elas possuem o mesmo polinômio característico, elas só podem possuir os mesmos valores próprios, que são as raízes do polinômio. Fica ligado, porque os valores próprios são iguais, mas os vetores próprios são diferentes.
- Como a gente sabe, uma matriz triangular tem o determinante igual ao produto dos termos da diagonal (isso vale pra matriz diagonal também, porque ela é triangular superior e inferior ao mesmo tempo). E aí, se é diagonal, também é!
Ué, mas isso é tudo que não podia acontecer! Concluímos então que se a matriz tem como valor próprio, ela não é inversível.
Passo 2
Passo 3
Os valores próprios que atendem a essa equação são , , ..., ou seja, os elementos da diagonal principal.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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