Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 7
Por uma conveniente translação de eixos, transformar cada uma das equações seguintes na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa.
Passo 1
A questão pede para escrevermos a cônica na forma reduzida fazendo uma translação de eixos. Note que a equação não apresenta termos mistos, então pode relaxar, você não vai precisar calcular autovalores e autovetores...
Vamos completar quadrados para a variável :
Passo 2
Assim, a equação pode ser reescrita como
Portanto,
No plano , essa quádrica representa uma circunferência de centro e raio . Porém como estamos em três dimensões, trata-se de um cilindro!
Passo 3
Fazendo a translação de eixos e , o cilindro pode ser reescrito como
Resposta
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Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 2 x 2 + 2 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 2 x z + 2 y z - 10 x - 6 y - 2 z - 7 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. y 2 - 4 x z - 4 x + 2 y - 3 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 4 y z - 18 = 0
Por uma conveniente translação de eixos, transformar cada uma das equações seguintes na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. x 2 + 4 y 2 - z 2 - 2 x + 16 y + 17 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z - 4 x + 6 y - 2 z + 2 = 0