Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 10
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema e identifica-la.
Passo 1
O problema pede para efetuarmos uma rotação e uma translação de eixos para obter uma equação reduzida e que não tenha termos mistos para a quádrica dada. Para isso, você deve usar o seguinte procedimento:
Assim, temos que
Nosso objetivo vai ser diagonalizar essa matriz! Vamos procurar os autovalores:
Assim,
Portanto,
Assim, os autovalores são
Assim, o termo quadrático pode ser reescrito como
Passo 2
Agora que já temos os autovalores e resolvemos o problema dos termos quadráticos, precisamos achar os autovetores para escrever as variáveis e em termos de e .
Para :
Da segunda linha tiramos
Da primeira, temos
Portanto,
Para que o autovetor seja normalizado: :
Já para :
Da primeira e terceira linha, tiramos:
Portanto,
Com :
Por fim, para :
Temos que
Logo,
Para que ele seja normalizado, :
Assim, a matriz de mudança de coordenadas é construída com os autovetores:
Portanto,
Passo 3
Desta forma, substituindo as expressões encontradas nos passos anteriores, a equação da quádrica será
Agrupando os termos:
Agora precisamos completar quadrados para escrever a equação na forma reduzida:
Portanto,
Assim,
Fazendo a translação:
Temos que
Logo,
Trata-se de um hiperboloide de duas folhas!