Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 11
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema e identifica-la.
Passo 1
O problema pede para efetuarmos uma rotação e uma translação de eixos para obter uma equação reduzida e que não tenha termos mistos para a quádrica dada. Para isso, você deve usar o seguinte procedimento:
Assim, temos que
Nosso objetivo vai ser diagonalizar essa matriz! Vamos procurar os autovalores:
Assim,
Portanto,
Logo,
Fatorando o termo em evidência,
Assim, os autovalores são
Assim, o termo quadrático pode ser reescrito como
Passo 2
Agora que já temos os autovalores e resolvemos o problema dos termos quadráticos, precisamos achar os autovetores para escrever as variáveis e em termos de e .
Para :
Note que a primeira e segunda linha são equivalentes. Vamos descartar a segunda! Multiplicando a terceira equação por e somando com a primeira, tiramos
Substituindo isso na primeira:
Portanto,
Para que o autovetor seja normalizado: :
Já para :
Note que a terceira linha é a segunda menos a primeira, de modo que não precisamos olhar para ela. Somando a primeira equação com a segunda:
Substituindo na primeira:
Portanto,
Com , terá norma :
Por fim, para :
Olhando com calma, vemos que a a terceira linha é múltipla da primeira menos a segunda: podemos ignorar ela e usar apenas as duas primeiras! Somando a primeira equação com a segunda:
Substituindo isso na segunda linha:
Logo,
Para que ele seja normalizado, :
Assim, a matriz de mudança de coordenadas é construída com os autovetores:
Portanto,
Passo 3
Desta forma, substituindo as expressões encontradas nos passos anteriores, a equação da quádrica será
Agrupando os termos:
Agora precisamos completar quadrados para escrever a equação na forma reduzida:
Portanto,
Assim,
Vamos redefinir as coordenadas:
Portanto, a equação fica
Trata-se de uma paraboloide elíptico!