Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema e identifica-la.

Agora que já temos os autovalores e resolvemos o problema dos termos quadráticos, precisamos achar os autovetores para escrever as variáveis e em termos de e .

Para :

Note que a primeira e segunda linha são equivalentes. Vamos descartar a segunda! Multiplicando a terceira equação por e somando com a primeira, tiramos

Substituindo isso na primeira:

Portanto,

Para que o autovetor seja normalizado: :

Já para :

Note que a terceira linha é a segunda menos a primeira, de modo que não precisamos olhar para ela. Somando a primeira equação com a segunda:

Substituindo na primeira:

Portanto,

Com , terá norma :

Por fim, para :

Olhando com calma, vemos que a a terceira linha é múltipla da primeira menos a segunda: podemos ignorar ela e usar apenas as duas primeiras! Somando a primeira equação com a segunda:

Substituindo isso na segunda linha:

Logo,

Para que ele seja normalizado, :

Assim, a matriz de mudança de coordenadas é construída com os autovetores:

Portanto,

Desta forma, substituindo as expressões encontradas nos passos anteriores, a equação da quádrica será

Agrupando os termos:

Agora precisamos completar quadrados para escrever a equação na forma reduzida:

Portanto,

Assim,

Vamos redefinir as coordenadas:

Portanto, a equação fica

Trata-se de uma paraboloide elíptico!