Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 3
Dada a matriz:
- é diagonalizável?
- Encontre seu polinômio minimal.
Passo 1
Pra gente verificar se a matriz é diagonalizável, como ela é de ordem , precisamos ver só se ela tem autovetores distintos e . Se isso acontecer, ela é diagonalizável! Bora lá então, precisamos calcular os autovalores. Se tiver autovalores distintos, já vai ser diagonalizável de cara. Vamos torcer pra isso acontecer!
Calculando os autovalores:
Essa matriz é triangular, então o determinante vai ser igual ao produto dos termos da diagonal:
Vish, só temos dois autovalores, e . Por isso, vamos ter que calcular os autovetores também e ver se são ou não.
Passo 2
Calculando os autovalores, substituindo em :
Para :
Resolvendo,
Daí, e ficam livres! Por isso, temos dois autovetores:
Que são exatamente os autovetores com e livres para serem o que quiser!
Agora vamos para :
Resolvendo,
Daí, , e são todos iguais a zero, enquanto isso o tá livre, leve e solto! Por isso,
Então nós temos autovetores em uma matriz . Por isso, ela não pode ser diagonalizável!
Passo 3
Agora vamos encontrar o polinômio minimal. Primeiro, vamos escrever os candidatos!
Bom, já sabemos que o não pode ser, porque se fosse, a matriz seria diagonalizável! Isso vem do teorema . Então vamos testar o .
Substituindo:
Desenvolvendo o quadrado:
Multiplicando:
Opa, era exatamente o que a gente queria! Então o polinômio minimal de é:
Resposta
- Não é diagonalizável.