Enunciado

Dada a matriz:

A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3

  1. A é diagonalizável?
  2. Encontre seu polinômio minimal.

Passo 1

Pra gente verificar se a matriz A é diagonalizável, como ela é de ordem 4 , precisamos ver só se ela tem 4 autovetores distintos e L I . Se isso acontecer, ela é diagonalizável! Bora lá então, precisamos calcular os autovalores. Se tiver 4 autovalores distintos, já vai ser diagonalizável de cara. Vamos torcer pra isso acontecer!

Calculando os autovalores:

2 - λ 1 0 0 0 2 - λ 0 0 0 0 2 - λ 0 0 0 0 3 - λ = 0

Essa matriz é triangular, então o determinante vai ser igual ao produto dos termos da diagonal:

2 - λ 3 3 - λ = 0

Vish, só temos dois autovalores, λ = 2 e λ = 3 . Por isso, vamos ter que calcular os autovetores também e ver se são 4 ou não.

Passo 2

Calculando os autovalores, substituindo em A - λ I v = 0 :

Para λ = 2 :

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x y z w = 0 0 0 0

Resolvendo,

y = 0 w = 0

Daí, x e z ficam livres! Por isso, temos dois autovetores:

v 1 = ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 )

v 2 = ( 0 ,   0 ,   1 ,   0 )

Que são exatamente os autovetores com x e z livres para serem o que quiser!

Agora vamos para λ = 3 :

- 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 x y z w = 0 0 0 0

Resolvendo,

- x + y = 0 - y = 0 - z = 0

Daí, x , y e z são todos iguais a zero, enquanto isso o w tá livre, leve e solto! Por isso,

v 3 = ( 0 ,   0 ,   0 ,   1 )

Então nós temos 3 autovetores em uma matriz 4 × 4 . Por isso, ela não pode ser diagonalizável!

Passo 3

Agora vamos encontrar o polinômio minimal. Primeiro, vamos escrever os candidatos!

p 1 x = x - 2 x - 3

p 2 x = x - 2 2 x - 3

p 3 x = x - 2 3 ( x - 3 )

Bom, já sabemos que o p 1 ( x ) não pode ser, porque se fosse, a matriz seria diagonalizável! Isso vem do teorema 7.2 . 6 . Então vamos testar o p 2 ( x ) .

p 2 A = A - 2 I 2 ( A - 3 I )

Substituindo:

p 2 A = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 - 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0

Desenvolvendo o quadrado:

p 2 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0

Multiplicando:

p 2 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Opa, era exatamente o que a gente queria! Então o polinômio minimal de A é:

p x = x - 2 2 ( x - 3 )

Resposta

  1. Não é diagonalizável.
  2. p x = x - 2 2 ( x - 3 )
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