Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 14.4 - Ex. 1
Na definição de variedade linear em , prove que . O vetor é único? é único? Interprete geometricamente.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na definição pra saber com quem estamos lidando.
Um subconjunto de um espaço vetorial é uma variedade linear de se existe um subespaço de e um vetor de tal que:
Passo 2
Primeira parte: provar que pertence ao conjunto . Essa é mole! Os vetores são os que pertencem a , certo? Mas os podem ser escritos como:
Agora pega o como o vetor nulo:
Opa, então como queríamos, o vetor está no conjunto , porque ele é um dos vetores , sacou?
Passo 3
Segunda parte: o vetor é único? Não é não, porque a gente pode escrever o vetor de várias formas de um modo que continue dando a mesma soma. Por exemplo,
Dessa forma, o “” seria agora , e por isso, estaria ele mesmo sendo variado, deu pra pegar a idéia? Por isso, ele não é único.
Passo 4
Terceira parte: o espaço é único? Sim! Ele é o espaço onde moram as diferenças entre dois elementos quaisquer de . Vou escrever uns vetores pra dar pra entender melhor: pega dois vetores, e de . Eles podem ser escritos como:
A diferença entre eles é:
E esse vetor, , está em ! Por isso, ele é o conjunto das diferenças entre dois vetores de . Por isso, ele é único!
Passo 5
A interpretação geométrica para essa definição seria que é a translação do conjunto por um vetor . Tipo, a gente tem o conjunto todo, e aí a gente pega e soma o vetor a cada um deles, e desloca todo mundo. Pegou a idéia?
Resposta
não é único;
é único;
Variação linear é a translação de por um vetor .