Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 2.17
Dizemos que uma matriz é diagonalizável se seu operador associado for diagonalizável, ou seja, é diagonalizável se, e somente se admitir autovetores . Baseado nisto, verifique quais das matrizes dos exercícios a da seção são diagonalizáveis.
Passo 1
Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem e acharmos autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?
A matriz da nossa transformação é:
Passo 2
Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:
Com isso a gente vai encontrar os autovetores!
Nessa questão,
Pela regra de Sarrus e desenvolvendo, vamos chegar em:
Isso vai nos dar dois autovalores:
Agora a gente substitui lá e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:
Passo 3
E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem , e encontramos os autovetores, certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador é diagonalizável!
Resposta
É diagonalizável.