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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 2.14

Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto, verifique quais das matrizes dos exercícios 9 a 18 da seção 6.3 são diagonalizáveis.

1 3 )   A = 1 1 2 1 2 1 2 1 1

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

A matriz da nossa transformação é:

A = 1 1 2 1 2 1 2 1 1

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

1 - λ 1 2 1 2 - λ 1 2 1 1 - λ = 0

E aí, desenvolvendo esse monstro pela regra de Sarrus e arrumando, chegamos em:

1 - λ 2 - λ 1 - λ + 2 + 2 - 4 2 - λ - 1 - λ - 1 - λ = 0

Arrumando:

1 - λ λ 2 - 3 λ - 4 = 0

1 - λ λ + 1 λ - 4 = 0

Então temos três autovalores:

λ = 1

λ = 4

λ = - 1

Agora a gente substitui lá e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = 1 : v = 1 ,   - 2 ,   1

λ = 4 : v = 1 ,   1 ,   1

λ = - 1 : v = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 3 , e encontramos 3 autovetores, certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador é diagonalizável!

Resposta

É diagonalizável.

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