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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 7

Qual é a aplicação A que representa uma contração de 1 2 seguida por uma rotação horária de 45 ° ?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos representar uma rotação R no plano por:

x ' y ' = cos ⁡ θ sin ⁡ θ       - sin ⁡ θ cos ⁡ θ x y

Resolvendo a multiplicação podemos escrever como uma transformação:

R x , y = x cos ⁡ θ - y sin ⁡ θ ,   x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ

Para a rotação horária temos que θ = - 45 ° , logo:

R x , y = x 2 2 - y - 2 2 , x - 2 2 + y 2 2

Passo 2

Uma contração C de 1 2 equivale a uma multiplicação do vetor x , y por 1 2 , assim D x , y = 1 2 x , y .

A aplicação é dada pela contração da transformação R , logo:

A x 2 2 - y - 2 2 , x - 2 2 + y 2 2 = 1 2 x 2 2 - y - 2 2 , x - 2 2 + y 2 2

A x 2 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 , - x 2 + y 2

A x 2 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 2 2 = x + y 2 , - x + y 2

Resposta

A x 2 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 2 2 = x + y 2 , - x + y 2

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