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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 17

Dadas as retas x + 2 2   =   y - 3   =   z - 1 4 e x - 3 m   =   y - 1 4   =   z - 7 2 , determine m de modo que as retas se interceptem. Determine as coordenadas do ponto de interseção.

Passo 1

Antes de mais nada, vamos reescrever as retas na forma paramétrica:

r : x + 2 2   =   y - 3   =   z - 1 4 = λ ⇒ x = 2 λ - 2 ,   y = - 3 λ ,   z = 4 λ + 1

s : x - 3 m   =   y - 1 4   =   z - 7 2 = γ ⇒ x = m γ + 3 ,   y = 4 γ + 1 ,   z = 2 γ + 7

Passo 2

Como queremos que as retas se interceptem, temos que igualar as coordenadas das duas retas:

2 λ - 2 = m γ + 3

- 3 λ = 4 γ + 1

4 λ + 1 = 2 γ + 7

Vamos multiplicar a primeira equação por - 2 :

- 4 λ + 4 = - 2 m γ - 6

- 3 λ = 4 γ + 1

4 λ + 1 = 2 γ + 7

Somando a primeira e a terceira equações, obtemos

5 = 2 γ ( 1 - m ) + 1

⇒ 2 γ ( 1 - m ) = 4

⇒ γ ( 1 - m ) = 2

Agora vamos multiplicar a terceira equação por - 2 :

- 4 λ + 4 = - 2 m γ - 6

- 3 λ = 4 γ + 1

- 8 λ - 2 = - 4 γ - 14

Agora, somamos as duas últimas equações:

- 8 λ - 3 λ - 2 = - 13

⇒ 11 λ = 11 ⇒ λ = 1

Vamos substituir λ = 1 em:

- 3 λ = 4 γ + 1

⇒ - 3 = 4 γ + 1

⇒ 4 γ = - 4 ⇒ γ = - 1

Finalmente, podemos usar γ = - 1 para obter m :

γ ( 1 - m ) = 2 ⇒ 1 - m = - 2 ⇒ m = 3

Passo 3

As coordenadas do ponto de interseção são obtidas fazendo λ = 1 em r ou γ = - 1 em s . Usando a primeira opção, obtemos

x = 2 λ - 2 = 2 - 2 = 0

y = - 3 λ = - 3

z = 4 λ + 1 = 4 + 1 = 5

Logo, o ponto de interseção é P = ( 0 , - 3,5 ) .

Resposta

m = 3 , P = ( 0 , - 3,5 )

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Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 :3 x +6 y -3 z =6P 2 :4 x -12 y +8 z =5 P 3 :9 y =1 +3 x +6 z P 4 :z =x +2 y -2
Dadas as retas ⎧ x=5 λ-2⎧ r⎢ y= 3 λ- 2 ⎢ , ⎩ z=λ⎩ ⎧ x= 2 μ+4⎧ s⎢ y= μ+ 2 ⎢ ⎩z= μ⎩ o vetor v →=( 1 , b , c ) , determine b e c para que v → tenha a direção da perpendicular comum às retas dadas.
No ΔA B C , A =( 1,3 , - 1 ) , B =( - 2,0 , 1 ) e C =( 4,2 , 3 ) . Escreva equações da altura que passa por A . Qual é o comprimento dessa altura?
Calcule as coordenadas do ponto simétrico de A=( 3 , - 1,2 ) em relação à reta s {x + 4 2=y - 1 - 1= z 1 .