Dadas as retas

⎧ x   =   5 λ   -   2

r   ⎢ y   = 3 λ   - 2 ,

                ⎩ z   =   λ

⎧ x   = 2 μ   +   4

  s   ⎢ y   = μ   + 2

                  ⎩   z   = μ

o vetor v →   =   ( 1 , b , c ) , determine b e c para que v → tenha a direção da perpendicular comum às retas dadas.

Passo 1

Pessoal, vamos começar essa questão identificando os vetores diretores das retas

v → r = ( 5,3 , 1 )

v → s = ( 2,1 , 1 )

Precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular aos dois vetores diretores porque v →   =   ( 1 , b , c ) estará na direção desse vetor. Isso quer dizer que v →   deve ser ortogonal a ambos os vetores diretores

v →   ⋅ v → r = 0 ⇒ ( 1 , b , c ) ⋅ ( 5,3 , 1 ) = 0 ⇒ 5 + 3 b + c = 0

v →   ⋅ v → s = 0 ⇒ ( 1 , b , c ) ⋅ ( 2,1 , 1 ) = 0 ⇒ 2 + b + c = 0

Passo 2

No passo anterior, obtivemos o sistema de equações

5 + 3 b + c = 0

2 + b + c = 0

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos

3 + 2 b = 0 ⇒ b = - 3 2

Agora, substituímos b = - 3 2 na segunda equação:

2 + b + c = 0

⇒ c = - b - 2 = 3 2 - 2 = - 1 2

Resposta

b = - 3 2

c = - 1 2

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