Enunciado

Dadas as retas

⎧ x   =   5 λ   -   2

r   ⎢ y   = 3 λ   - 2 ,

                ⎩ z   =   λ

⎧ x   = 2 μ   +   4

  s   ⎢ y   = μ   + 2

                  ⎩   z   = μ

o vetor v →   =   ( 1 , b , c ) , determine b e c para que v → tenha a direção da perpendicular comum às retas dadas.

Passo 1

Pessoal, vamos começar essa questão identificando os vetores diretores das retas

v → r = ( 5,3 , 1 )

v → s = ( 2,1 , 1 )

Precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular aos dois vetores diretores porque v →   =   ( 1 , b , c ) estará na direção desse vetor. Isso quer dizer que v →   deve ser ortogonal a ambos os vetores diretores

v →   ⋅ v → r = 0 ⇒ ( 1 , b , c ) ⋅ ( 5,3 , 1 ) = 0 ⇒ 5 + 3 b + c = 0

v →   ⋅ v → s = 0 ⇒ ( 1 , b , c ) ⋅ ( 2,1 , 1 ) = 0 ⇒ 2 + b + c = 0

Passo 2

No passo anterior, obtivemos o sistema de equações

5 + 3 b + c = 0

2 + b + c = 0

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos

3 + 2 b = 0 ⇒ b = - 3 2

Agora, substituímos b = - 3 2 na segunda equação:

2 + b + c = 0

⇒ c = - b - 2 = 3 2 - 2 = - 1 2

Resposta

b = - 3 2

c = - 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a distância ∆ do ponto P = 3,1 à reta x + 2 y = 3 . Ache o ponto Q = x , y sobre esta reta, tal que d P , Q = ∆ .
Escreva a equação da circunferência que tem centro no ponto P = (2, 5) e é tangente à reta y = 3x + 1.
Sabendo que x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π], são equações paramétricas da circunferência x²+y²=1, obter equações paramétricas para a circunferência de centro P = (a, b) e raio r.
Mostre que a reta y = ax + b é tangente à circunferência x² + y² = r² se, e somente se, b² = (1 + a²)r².
Esboce o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equaçãox³ + xy² − x – x²y – y³ + y = 0.