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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 25

No Δ   A B C , A =   ( 1,3 , - 1 ) , B =   ( - 2,0 , 1 ) e C =   ( 4,2 , 3 ) . Escreva equações da altura que passa por A . Qual é o comprimento dessa altura?

Passo 1

Ficou meio confuso com essa questão? Tudo bem, vamos tentar entender o que ela pede. A altura que passa pelo vértice na verdade é uma reta que passa por A e é perpendicular ao vetor B C → .

Para termos as equações da reta, precisamos de um ponto, que é o próprio vértice A e de um vetor diretor, que será o vetor que sai de A e é perpendicular a B C → . Vamos dizer que esse vetor é dado por v → = ( a , b , c ) . Mas existe uma forma mais fácil de conseguir o vetor diretor.

Os pontos B =   ( - 2,0 , 1 ) e C =   ( 4,2 , 3 ) descrevem uma segunda reta com vetor diretor

B C → = C - B = ( 4,2 , 3 ) - ( - 2,0 , 1 ) = ( 6,2 , 2 )

Logo, qualquer ponto dessa reta AB pode ser escrito como

P = ( - 2 + 6 b , 2 b , 1 + 2 b )

Passo 2

Então, o vetor que precisamos para obter a altura em relação ao vértice A será da forma:

A P → = P - A = ( - 2 + 6 b , 2 b , 1 + 2 b ) -   ( 1,3 , - 1 ) = ( - 3 + 6 b , 2 b - 3,2 + 2 b )

Como já dissemos lá no Passo 1, esse vetor deve ser perpendicular a B C → . Então

B C → ⋅ A P → = 0

⇒ ( - 3 + 6 b , 2 b - 3,2 + 2 b ) ⋅ ( 6,2 , 2 ) = 0

⇒ - 18 + 36 b + 4 b - 6 + 4 + 4 b = 0

⇒ - 20 + 44 b = 0 ⇒ b = 5 11

Com isso, descobrimos que o ponto de encontro do segmento de altura com a reta BC é

P = ( - 2 + 6 b , 2 b , 1 + 2 b ) b = 5 / 11 = 1 11 ( 8,10,21 )

e o vetor que precisamos é dado por

A P → = ( - 3 + 6 b , 2 b - 3,2 + 2 b ) b = 5 / 11 = - 1 11 ( 3,23 , - 32 )

Esse vetor começa no vértice A e vai até o ponto P na aresta BC. Então, seu módulo nos dará a altura que precisamos

h = | A P → | = 9 121 + 529 121 + 1024 121 = 1562 121 = 142 11

Resposta

h = 142 11

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