Enunciado

Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes?

P 1 :   3 x +   6 y -   3 z =   6                   P 2 :   4 x -   12 y +   8 z =   5

P 3 :   9 y =   1 +   3 x +   6 z                             P 4 :   z =   x +   2 y -   2

Passo 1

Essa questão é bem simples! Vamos dizer que P i possui um vetor normal n i . Assim, analisamos cada equação:

P 1 possui vetor normal n 1 < 3,6 , - 3 > ;

P 2 possui vetor normal n 2 < 4 , - 12,8 > ;

P 3 possui vetor normal n 3 < 3 , - 9 , 6 > ;

P 4 possui vetor normal n 4 < 1 , 2 , - 1 > .

Analisando esses vetores percebemos que n 1 = 3 n 4 , sendo assim, n 1 e n 4 são paralelos. Portanto, os planos P 1 e P 4 são paralelos.

Da mesma forma, temos que P 2 e P 3 são paralelos porque n 2 = 4 3 n 3 .

No entanto, podemos ver que n 1 e n 2 não são paralelos (portanto, nem todos os quatro planos são paralelos).

Mas olha só! O ponto ( 2 ,   0 ,   0 ) se encontra em P 1 e P 4 , então esses dois planos são idênticos. O ponto ( 5 4 ,   0 ,   0 ) está em P 2 , mas não em P 3 , então esses são planos diferentes.

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Resposta

Os planos P 1 e P 4 são paralelos, assim como, P 2 e P 3 . Já P 1 e P 4 , são planos idênticos, mas P 2 e P 3 são planos diferentes.

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