Calcule as coordenadas do ponto simétrico de A   =   ( 3 , - 1,2 ) em relação à reta s {   x + 4 2   =   y - 1 - 1   = z 1 .

Passo 1

Para encontrar o ponto simétrico de A   =   ( 3 , - 1,2 ) , precisamos determinar a distância entre A e a reta

s {   x + 4 2   =   y - 1 - 1   = z 1 = s ⇒ x = 2 s - 4 ,   y = 1 - s ,   z = s

Qualquer ponto dessa reta pode ser escrito como

R = ( 2 s - 4 ,   1 - s ,   s )

e o vetor diretor da reta é v → = ( 2 , - 1,1 ) .

Assim, qualquer vetor que sai de A até a reta s tem a forma:

A R → = R - A = ( 2 s - 4 ,   1 - s ,   s ) - ( 3 , - 1,2 ) = ( 2 s - 7 ,   2 - s ,   s - 2 )

Mas nós queremos um vetor que seja ortogonal a reta, porque o módulo desse vetor nos dará a distância entre o ponto A e a reta. Assim, devemos ter

A R → ⋅ v → = 0

⇒ ( 2 s - 7 ,   2 - s ,   s - 2 ) ⋅ ( 2 , - 1,1 ) = 0

⇒ 4 s - 14 - 2 + s + s - 2 = 0

⇒ 6 s - 18 = 0 ⇒ s = 3

Agora podemos substituir s = 3 em A R → e calcular seu módulo:

A R → = ( 2 s - 7 ,   2 - s ,   s - 2 ) = ( 6 - 7,2 - 3,3 - 2 ) = ( - 1 , - 1,1 )

⇒ | A R → | = 1 + 1 + 1 = 3

Além disso, o ponto R se torna

R = ( 2 s - 4 ,   1 - s ,   s ) = ( 2 , - 2,3 )

Passo 2

O vetor A R → = ( - 1 , - 1,1 ) e o ponto A   =   ( 3 , - 1,2 ) descrevem uma reta que passa por A e é perpendicular a s . Essa reta também passa pelo ponto simétrico de A e tem as seguintes equações

t : x = 3 - t ,   y = - 1 - t , z = 2 + t

onde usamos A   =   ( 3 , - 1,2 ) como ponto inicial e A R → = ( - 1 , - 1,1 ) como vetor diretor. Assim, para algum valor do parâmetro t obteremos o ponto simétrico. Para t = 0 , obtemos o ponto A   =   ( 3 , - 1,2 ) . Para t = 1 obtemos o ponto R = ( 2 , - 2,3 ) . Então, por simetria, podemos ver que o ponto simétrica ocorre para t = 2 . Nesse caso, temos

B = ( 3 - t , - 1 - t , 2 + t ) = ( 1 , - 3,4 )

Resposta

B = ( 1 , - 3,4 )

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