Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 24
Calcule as coordenadas do ponto simétrico de em relação à reta .
Passo 1
Para encontrar o ponto simétrico de , precisamos determinar a distância entre e a reta
Qualquer ponto dessa reta pode ser escrito como
e o vetor diretor da reta é .
Assim, qualquer vetor que sai de até a reta tem a forma:
Mas nós queremos um vetor que seja ortogonal a reta, porque o módulo desse vetor nos dará a distância entre o ponto e a reta. Assim, devemos ter
Agora podemos substituir em e calcular seu módulo:
Além disso, o ponto se torna
Passo 2
O vetor e o ponto descrevem uma reta que passa por e é perpendicular a . Essa reta também passa pelo ponto simétrico de e tem as seguintes equações
onde usamos como ponto inicial e como vetor diretor. Assim, para algum valor do parâmetro obteremos o ponto simétrico. Para , obtemos o ponto . Para obtemos o ponto . Então, por simetria, podemos ver que o ponto simétrica ocorre para . Nesse caso, temos