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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 20

Determine o centro e o raio da circunferência, interseção da superfície esférica x 2   +   y 2   + z 2   - 2 x   - 4 y   +   6 z   +   4   =   0 com o plano 2 x   - y   - z   +   3   =   0 .

Passo 1

Tudo tranquilo? Começamos esse tipo de questão verificando se a equação da superfície esférica está em sua forma reduzida. Caso seja negativa, faremos esse processo.

x 2   +   y 2   + z 2   - 2 x   - 4 y   +   6 z   +   4   =   0

⇒ x 2 - 2 x +   y 2 - 4 y   + z 2   +   6 z   +   4   =   0   ( s o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   1   , 4   e   9 )

⇒ x 2 - 2 x + 1   -   1   +     y 2 - 4 y   + 4 - 4 + z 2   +   6 z   + 9   - 9   +   4   =   0  

⇒ ( x   - 1 ) 2 -   1   + ( y - 2 ) 2   - 4 + ( z   +   3 ) 2 - 9   +   4   =   0

⇒ ( x   - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z   +   3 ) 2 =   10

Com isso, sabemos o centro C   =   ( 1,2 , - 3 ) e o raio da esfera é r   =   10 . E, agora, vamos calcular a distância desse ponto ao plano π :   2 x   - y   - z   +   3   =   0 . Para isso, substituiremos os valores na fórmula da distância:

d ( C ,   π )   =   | 2 ⋅ 1     - 1 ⋅ 2   - 1 ⋅ ( - 3 )   + 3 | 4 + 1 + 1   =   | 2   - 2   + 3   + 3 | 6   =   6 .

Seguindo a noção do exercício resolvido 2, temos que d ( C ,   π ) é a distância entre o centro da esfera e o centro da circunferência formada pela interseção entre o plano e a superfície esférica. Também observamos que o raio r é o ponto do centro da esfera ao ponto de interseção na superfície. Logo, para acharmos o raio r ' da circunferência, basta usarmos pitágoras:

d ( C ,   π ) 2   +   r ' 2   =   r 2   ⇒   ( 6 ) 2     +   r ' 2     =   ( 10 ) 2   ⇒   r '   =   4   =   2 .

Passo 2

Para finalizar, precisamos do ponto C ' onde ocorre a interseção do plano e a superfície esférica, nos informando onde será o centro da circunferência.

Para achá-lo, vamos utilizar uma reta perpendicular ao plano π que passa pelos pontos C e C ' . Assumindo C   = ( 1,2 , - 3 ) como seu ponto inicial e o seu vetor diretor v →   =   ( x , y , z ) sendo paralelo ao vetor normal n →   =   ( 2 , - 1 , - 1 ) do plano π . Com isso, temos:

v →     = α   n →       ⇒ ( x , y , z )   =   α ( 2 , - 1 , - 1 )

e a equação de qualquer ponto da reta será:

( 1   +   2 α , 2   - α , - 3   - α )

Agora, basta substituir em 2 x   - y   - z   +   3   =   0 para saber qual o valor de α nos fornece a interseção (lembrando que essa interseção acontece justamente no ponto C ' ):

2 ⋅ ( 1   +   2 α )   - ( 2   - α )   - ( - 3   - α )   +   3   =   0

⇒   2   + 4 α   -   2     + α + 3   + α   + 3   =   0  

⇒   6 α   =   - 6

⇒   α   = - 1

Então, substituindo esse valor na equação do ponto pertence a reta, obtemos C '   =   ( 1   +   2 ⋅ ( - 1 ) , 2   - ( - 1 ) , - 3   - ( - 1 ) )   =   ( - 1 ,   3 ,   - 2 ) .

Resposta

C '   = ( - 1 ,   3 ,   - 2 ) e r '   =   2

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