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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 1

Dado um paralelogramo ABCD, escolha um sistema de coordenadas adequado e mostre que A B - 2 + B C - 2 + C D - 2 + D A - 2 = A C - 2 + B D - 2 (a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das suas diagonais).

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão ele pede para mostrarmos que a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual a soma dos quadrados das diagonais, representado por,

A B - 2 + B C - 2 + C D - 2 + D A - 2 = A C - 2 + B D - 2

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Sabendo que,

A B - 2 + B C - 2 + C D - 2 + D A - 2 = A C - 2 + B D - 2 , temos

Aplicando Pitágoras nos triângulos, temos

A C F → a 2 = h 2 + x 2   ( I )

C F B → d 2 = b - x 2 + h 2 → d 2 = b 2 - 2 b x + x 2 + h 2   ( I I )

A D E → D 2 = h 2 + b 2 + 2 b x + x 2   ( I I I )

Somando ( I I ) com ( I I I ) , temos

D 2 + d 2 = b 2 - 2 b x + x 2 + h 2 + h 2 + b + 2 b x + x 2

D 2 + d 2 = 2 b 2 + 2 ( x 2 + h 2 )

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

D 2 + d 2 = 2 b 2 + 2 ( x 2 + h 2 )

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