Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas Propostos - Ex. 9
Dado o tetraedro de vértices e , calcular a medida da altura baixada do vértice ao plano da face .
Passo 1
Primeiramente, vamos encontrar o plano da face ta bom?
Esse plano vai ter vetor normal e passa pelos pontos e . Vamos lembrar que o produto vetorial sempre resultará em um terceiro vetor ortogonal aos outros dois, então, fazendo o produto vetorial entre vetores diretores do plano, obteremos um vetor ortogonal a ele, ou seja, ou vetor normal.
Sabendo que
Temos que o vetor normal desse plano vai ser
Então, a equação do nosso plano tem o formato
Passo 2
Agora precisamos encontrar o da equação do plano. Para isso, vamos substituir um ponto do plano na equação que encontramos. Sabemos que esse plano passa, por exemplo, pelo ponto , então vamos substituir esse ponto na equação que encontramos:
Logo, a equação geral do nosso plano é
Passo 3
A distância entre um ponto e um plano é dada por
No nosso caso, queremos a altura do tetraedro, que vai ser a distância do ponto ao plano
Fatorando a raíz, temos