Dado o tetraedro de vértices A = 1 ,   2 ,   1 ,   B = 2 ,   - 1 ,   1 ,   C = ( 0 ,   - 1 ,   - 1 ) e D = ( 3 ,   1 ,   0 ) , calcular a medida da altura baixada do vértice D ao plano da face A B C .

Passo 1

Primeiramente, vamos encontrar o plano da face A B C ta bom?

Esse plano vai ter vetor normal A B → × B C → e passa pelos pontos A ,   B e C . Vamos lembrar que o produto vetorial sempre resultará em um terceiro vetor ortogonal aos outros dois, então, fazendo o produto vetorial entre vetores diretores do plano, obteremos um vetor ortogonal a ele, ou seja, ou vetor normal.

Sabendo que

A B → = B - A = ( 1 ,   - 3 ,   0 )

B C → = C - B = ( - 2 ,   0 ,   - 2 )

Temos que o vetor normal desse plano vai ser

A B → × B C → = ( 6 ,   2 ,   - 6 )

Então, a equação do nosso plano A B C tem o formato

6 x + 2 y - 6 z + d = 0

Passo 2

Agora precisamos encontrar o d da equação do plano. Para isso, vamos substituir um ponto do plano na equação que encontramos. Sabemos que esse plano passa, por exemplo, pelo ponto A = ( 1 ,   2 ,   1 ) , então vamos substituir esse ponto na equação que encontramos:

6 x + 2 y - 6 z + d = 0

6 . 1 + 2 . 2 - 6 . 1 + d = 0

d = - 4

Logo, a equação geral do nosso plano é

π :   6 x + 2 y - 6 z - 4 = 0

Passo 3

A distância entre um ponto P ' = ( x ,   y ,   z ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d P ' , π ' = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

No nosso caso, queremos a altura do tetraedro, que vai ser a distância do ponto D = ( 3 ,   1 ,   0 ) ao plano π : 6 x + 2 y - 6 z - 4 = 0

d D ,   π = 6.3 + 2.1 - 6.0 - 4 6 2 + 2 2 + ( - 6 ) ²

d D ,   π = 16 36 + 4 + 36

d D ,   π = 16 76

Fatorando a raíz, temos

d D ,   π = 16 2 19 = 8 19

Resposta

8 19

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