Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas Propostos - Ex. 5e
Calcular a distância entre as retas e nos seguintes casos:
e) e
Passo 1
A reta passa pelo ponto e tem vetor diretor . Então sua equação vetorial é
Agora vamos encontrar a equação vetorial da reta :
Então a reta passa pelo ponto e tem vetor diretor .
Opa, as duas retas têm o mesmo vetor diretor, então elas são paralelas. Agora precisamos saber se são paralelas distintas ou coincidentes hehe
Passo 2
Para verificar se as retas são distintas ou coincidentes, vamos substituir o ponto de na equação de e ver se existe tal que esse ponto pertence à reta. Se existir, são coincidentes, se não, são distintas ;)
Igualando as coordenadas, temos
Vixi, em cada linha temos um valor diferente para , isso quer dizer que o ponto de não pertence à reta , logo as retas são paralelas distintas.
Passo 3
Sabemos que a distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto de até a reta :)
Seja o ponto um ponto de .
Um ponto genérico de é .
Vamos calcular a distância entre esses dois pontos, e aí teremos a distância entre e .
Temos então o vetor . Bom, queremos que seja ortogonal ao vetor diretor de para aí termos a menor distância, ou seja:
Se , substituindo no nosso ponto , temos
Agora é só calcularmos a distância entre e :
E essa é a distância entre e :)