Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:

e) r :   x = y = z - 2 e s :   y = x + 1 z = x - 3

Passo 1

A reta r passa pelo ponto A = ( 0 ,   0 ,   2 ) e tem vetor diretor r → = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Então sua equação vetorial é

r : X = 0 ,   0 ,   2 + t . ( 1 ,   1 ,   1 )

Agora vamos encontrar a equação vetorial da reta s :

x ,   y ,   z = ( x ,   x + 1 ,   x - 3 )

s : X = 0 ,   1 ,   - 3 + t . ( 1 ,   1 ,   1 )

Então a reta s passa pelo ponto B = ( 0 ,   1 ,   - 3 ) e tem vetor diretor s → = ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Opa, as duas retas têm o mesmo vetor diretor, então elas são paralelas. Agora precisamos saber se são paralelas distintas ou coincidentes hehe

Passo 2

Para verificar se as retas são distintas ou coincidentes, vamos substituir o ponto ( 0 ,   1 ,   - 3 ) de s na equação de r e ver se existe t tal que esse ponto pertence à reta. Se existir, são coincidentes, se não, são distintas ;)

0 ,   1 ,   - 3 = 0 ,   0 ,   2 + t . ( 1 ,   1 ,   1 )

0 ,   1 ,   - 3 = ( t ,   t ,   2 + t )

Igualando as coordenadas, temos

t = 0 t = 2 2 + t = - 3

Vixi, em cada linha temos um valor diferente para t , isso quer dizer que o ponto B de s não pertence à reta r , logo as retas são paralelas distintas.

Passo 3

Sabemos que a distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto de r até a reta s :)

Seja o ponto A = ( 0 ,   0 ,   2 ) um ponto de r .

Um ponto genérico de s é Q = ( t ,   1 + t ,   - 3 + t ) .

Vamos calcular a distância entre esses dois pontos, e aí teremos a distância entre r e s .

Temos então o vetor A Q → = ( t ,   1 + t ,   - 5 + t ) . Bom, queremos que P Q → seja ortogonal ao vetor diretor de s para aí termos a menor distância, ou seja:

A Q → . s → = 0

t ,   1 + t ,   - 5 + t . 1 ,   1 ,   1 = 0

t + 1 + t - 5 + t = 0

3 t = 4

t = 4 3

Se t = 4 3 , substituindo no nosso ponto Q , temos Q = 4 3 , 7 3 ,   - 5 3 .

Agora é só calcularmos a distância entre A e Q :

d A ,   Q = 0 - 4 3 2 + 0 - 7 3 2 + 2 + 5 3 2

d A ,   Q = 16 9 + 49 9 + 121 9

d A ,   Q = 186 3

E essa é a distância entre r e s :)

Resposta

d r ,   s = 186 3

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