Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.Testes do Capítulo - Ex. 2

Dado o triangulo de vértices A = (0, 1, −1), B = (−2, 0, 1) e C = (1, −2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, vamos partir da área do triângulo:

Se a base b é o lado BC, a altura h será exatamente a altura relativa ao lado BC, que é o que desejamos encontrar. Logo, temos que:

Determinamos o vetor BC usando as coordenadas de B e C que foram fornecidas no enunciado:

Já a área do triângulo pode ser calculada como metade do módulo do produto vetorial de dois segmentos, sejam AB e AC, ou BA e BC ou CA e CB:

Teremos:

O módulo desse vetor é dado por:

A área do triângulo é dada por:

Passo 2

Com a área do triângulo conhecida, e o vetor BC determinado, podemos calcular b:

Substituindo b e A em:

Teremos:

Resposta

.

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Resolva os sistemas:(b) x → . 2 i → + 3 j → + 4 k → = 9 x → ∧ - i → + j → - k → = - 2 i → + 2 k →

(a) Prove que, se u → é unitário, então u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v → , qualquer que seja v → . O duplo produto u → ∧ v → ∧ u → é, portanto, o vetor q → mencionado em [9-9].

(a) Mostre que u → i j ∧ v → i j = D a b K → , u → i k ∧ v → i k = - D a c J → , u → j k ∧ v → j k = D b c I → , e, consequentemente S Ω i j = D a b ,S Ω i k = D a ceS Ω j k = D b c .

(c) Sejam α ,β e γ , respectivamente, as medidas angulares entre u → ∧ v → e i → , u → ∧ v → e j → , u → ∧ v → e k → .Mostre que S Ω i j = S Ω cos ⁡ γ ,S Ω i k = S Ω cos ⁡ β e S Ω j k = S Ω cos ⁡ α .

Sejam ∧ e ∧ * os produtos vetoriais associados às duas orientações distintas de V 3 . Exprima: a → ∧ * b → em função de a → ∧ b → ; a → ∧ * b → ∧ * c → em função de a → ∧ b → ∧ c → ; a → ∧ * b → ∧ * c