Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.Testes do Capítulo - Ex. 2

Dado o triangulo de vértices A = (0, 1, −1), B = (−2, 0, 1) e C = (1, −2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, vamos partir da área do triângulo:

Se a base b é o lado BC, a altura h será exatamente a altura relativa ao lado BC, que é o que desejamos encontrar. Logo, temos que:

Determinamos o vetor BC usando as coordenadas de B e C que foram fornecidas no enunciado:

Já a área do triângulo pode ser calculada como metade do módulo do produto vetorial de dois segmentos, sejam AB e AC, ou BA e BC ou CA e CB:

Teremos:

O módulo desse vetor é dado por:

A área do triângulo é dada por:

Passo 2

Com a área do triângulo conhecida, e o vetor BC determinado, podemos calcular b:

Substituindo b e A em:

Teremos:

Resposta

.

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Resolva os sistemas:(b) {[[vec x . (2 vec i + 3 vec j + 4 vec k) = 9],[vec x ^^ (- vec i + vec j - vec k) = - 2 vec i + 2 vec k]])

(a) Prove que, se u → é unitário, então u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v → , qualquer que seja v → . O duplo produto u → ∧ v → ∧ u → é, portanto, o vetor q → mencionado em [9-9].

(a) Mostre que vec u_i j ^^ vec v_i j = D_a b vec K , vec u_i k ^^ vec v_i k = - D_a c vec J , vec u_j k ^^ vec v_j k = D_b c vec I , e, consequentemente S (omega_i j) = |D_a b| , S (omega_i k) = |D_a

(c) Sejam α ,β e γ , respectivamente, as medidas angulares entre u → ∧ v → e i → , u → ∧ v → e j → , u → ∧ v → e k → .Mostre que S Ω i j = S Ω cos ⁡ γ ,S Ω i k = S Ω cos ⁡ β e S Ω j k = S Ω cos ⁡ α .

Sejam ∧ e ∧ * os produtos vetoriais associados às duas orientações distintas de V 3 . Exprima: a → ∧ * b → em função de a → ∧ b → ; a → ∧ * b → ∧ * c → em função de a → ∧ b → ∧ c → ; a → ∧ * b → ∧ * c