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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 13a

(a) Mostre que vec u_i j ^^ vec v_i j = D_a b vec K , vec u_i k ^^ vec v_i k = - D_a c vec J , vec u_j k ^^ vec v_j k = D_b c vec I , e, consequentemente S (omega_i j) = |D_a b| , S (omega_i k) = |D_a c| e S (omega_j k) = |D_b c| .

Passo 1

Bora lá!

Para começarmos a resolução, vamos considerar os vetores vec u e vec v , os quais são definidos por vec u = ( a_1 , b_1 , c_1 ) e vec v = ( a_2 , b_2 , c_2 ) .

E queremos provar as seguintes igualdades:

vec u_i j ^^ vec v_i j = D_a b vec k

vec u_i k ^^ vec v_i k = - D_a c vec j

vec u_j k ^^ vec v_j k = D_b c vec i

Passo 2

Para provarmos as igualdades acima, vamos calcular os produtos vetoriais das projeções dos vetores:

vec u_i j ^^ vec v_i j = |[[vec i,vec j,vec k],[a_1,b_1,0],[a_2,b_2,0]]| = (a_1 b_2 - a_2 b_1) vec k

vec u_i k ^^ vec v_i k = |[[vec i,vec j,vec k],[a_1,0,c_1],[a_2,0,c_2]]| = (a_2 c_1 - a_1 c_2) vec j

vec u_j k ^^ vec v_j k = |[[vec i,vec j,vec k],[0,b_1,c_1],[0,b_2,c_2]]| = (b_1 c_2 - b_2 c_1) vec i

Passo 3

A seguir, calcularemos as determinantes explícitas nas igualdades iniciais:

D_a b = |[[a_1,b_1],[a_2,b_2]]| = a_1 b_2 - a_2 b_1

D_a c = |[[a_1,c_1],[a_2,c_2]]| = a_1 c_2 - a_2 c_1

D_b c = |[[b_1,c_1],[b_2,c_2]]| = b_1 c_2 - b_2 c_1

Passo 4

Por fim, vamos substituir as expressões encontradas nas igualdades iniciais:

vec u_i j ^^ vec v_i j = D_a b vec k -> (a_1 b_2 - a_2 b_1) vec k = (a_1 b_2 - a_2 b_1) vec k

vec u_i k ^^ vec v_i k = - D_a c vec j -> (a_2 c_1 - a_1 c_2) vec j = - (a_1 c_2 - a_2 c_1) vec j -> (a_2 c_1 - a_1 c_2) vec j = (a_2 c_1 - a_1 c_2) vec j

vec u_j k ^^ vec v_j k = D_b c vec i -> (b_1 c_2 - b_2 c_1) vec i = (b_1 c_2 - b_2 c_1) vec i

Portanto, concluímos que as igualdades que vec u_i j ^^ vec v_i j = D_a b vec k , vec u_i k ^^ vec v_i k = - D_a c vec j , vec u_j k ^^ vec v_j k = D_b c vec i são, de fato, verdadeiras 😉.

Passo 5

Para a segunda parte da resolução, vamos utilizar os dados obtidos até agora e a noção de que

S (omega_i j) , S (omega_i k) e S (omega_j k) representam as respectivas áreas dos paralelogramos, os quais, por sua vez, são formados pelas projeções dos vetores vec u e vec v .

As áreas são dadas pelo módulo do produto vetorial de seus respectivos vetores. Dessa forma, temos

S (omega_i j) = |vec u_i j ^^ vec v_i j| = sqrt((a_1 b_2 - a_2 b_1)^2) = a_1 b_2 - a_2 b_1

S (omega_i k) = |vec u_i k ^^ vec v_i k| = sqrt((a_2 c_1 - a_1 c_2)^2) = a_2 c_1 - a_1 c_2

S (omega_j k) = |vec u_j k ^^ vec v_j k| = sqrt((b_1 c_2 - b_2 c_1)^2) = b_1 c_2 - b_2 c_1

Passo 6

Por fim, para verificarmos a validade do segundo grupo de igualdades, basta igualarmos as áreas calculadas com os módulos das determinantes. Vamos levar em consideração, porém, que as áreas são obrigatoriamente positivas. Temos, então:

S (omega_i j) = |D_a b|

a_1 b_2 - a_2 b_1 = |a_1 b_2 - a_2 b_1|

a_1 b_2 - a_2 b_1 = a_1 b_2 - a_2 b_1

S (omega_i k) = |D_a c|

a_2 c_1 - a_1 c_2 = |a_1 c_2 - a_2 c_1|

a_2 c_1 - a_1 c_2 = a_1 c_2 - a_2 c_1

S (omega_j k) = |D_b c|

b_1 c_2 - b_2 c_1 = |b_1 c_2 - b_2 c_1|

b_1 c_2 - b_2 c_1 = b_1 c_2 - b_2 c_1

Portanto, concluímos que as igualdades S (omega_i j) = |D_a b| , S (omega_i k) = |D_a c| e S (omega_j k) = |D_b c| são, de fato, verdadeiras 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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