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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 13c

(c) Sejam α ,   β e γ , respectivamente, as medidas angulares entre u → ∧ v → e i → , u → ∧ v → e j → , u → ∧ v → e k → .

Mostre que S Ω i j = S Ω cos ⁡ γ ,   S Ω i k = S Ω cos ⁡ β e S Ω j k = S Ω cos ⁡ α . Compare com (b) e conclua cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1 , confirmando o resultado do Exercício 9-10(b).

Passo 1

Bora lá!

Para começarmos a resolução, devemos expressar os ângulos α ,   β e γ em forma de seus respectivos cossenos. Para tanto, usaremos a fórmula do produto escalar vetorial:

cos ⁡ α = u → ∧ v → . i → u → ∧ v → . | i → |

cos ⁡ β = u → ∧ v → . j → u → ∧ v → . | j → |

cos ⁡ γ = u → ∧ v → . k → u → ∧ v → . | k → |

Passo 2

A seguir, vamos utilizar os fatos de que i → = j → = k → = 1 e que | u → ^ v → | = S ( Ω ) , para desenvolvermos as expressões do cosseno, beleza?

cos ⁡ α = u → ∧ v → . i → S ( Ω )

cos ⁡ β = u → ∧ v → . j → S ( Ω )

cos ⁡ γ = u → ∧ v → . k → S ( Ω )

Passo 3

Vamos isolar os termos que nós queremos para a resolução, ok? Assim, temos:

S ( Ω ) cos ⁡ α = u → ∧ v → . i →

S ( Ω ) cos ⁡ β = u → ∧ v → . j →

S ( Ω ) cos ⁡ γ = u → ∧ v → . k →  

Passo 4

Agora, precisamos “misturar” tudo da questão 13, tomando com base os dados coletados nas letras anteriores, podemos afirmar que:

u → ∧ v → . i → = D b c = S Ω j k

u → ∧ v → . j → = D a c = S Ω i k

u → ∧ v → . k → = D a b = S Ω i j

Portanto, ao unirmos todas as expressões, podemos obter a primeira parte da nossa resolução. Ou seja, que é válido afirmar:

S Ω i j = S Ω cos ⁡ γ

S Ω i k = S Ω cos ⁡ β

S Ω j k = S Ω cos ⁡ α

Passo 5

Por fim, aplicando a propriedade S Ω = S Ω i j 2 +   S Ω i k 2 +   S Ω j k 2 , temos:

S Ω = S Ω i j 2 +   S Ω i k 2 +   S Ω j k 2

S Ω 2 = S Ω 2 cos ⁡ γ 2 + S Ω 2 cos ⁡ β   2 + S Ω 2 cos ⁡ α 2

1 = cos ⁡ γ 2 + cos ⁡ β 2 + cos ⁡ α 2

Portanto, concluímos a segunda parte da nossa resolução. Ou seja, que, de fato, 1 = cos ⁡ γ 2 + cos ⁡ β 2 + cos ⁡ α 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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