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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 22b

Resolva os sistemas:

(b) {[[vec x . (2 vec i + 3 vec j + 4 vec k) = 9],[vec x ^^ (- vec i + vec j - vec k) = - 2 vec i + 2 vec k]])

Passo 1

Novamente, iremos desenvolver cada equação por partes, beleza? Seja vec x ≔ ( x_1 , x_2 , x_3 ) , a primeira equação nos fornece que:

vec x . (2 vec i + 3 vec j + 4 vec k) = 9 => 2 x_1 + 3 x_2 + 4 x_3 = 9

Não há muito o que fazer com tal resultado ☹. Logo, vamos desenvolver a segunda equação.

Passo 2

Desenvolvendo a segunda equação, temos:

vec x ^^ (- vec i + vec j - vec k) = - 2 vec i + 2 vec k => - (x_2 + x_3) vec i + (x_1 - x_3) vec j + (x_1 + x_2) vec k = - 2 vec i + 2 vec k

=> {[[x_2 + x_3 = 2],[x_1 - x_3 = 0],[x_1 + x_2 = 2]]) => {[[x_1 + x_2 = 2],[x_1 = x_3]])

Passo 3

Substituindo tais resultados no que nós desenvolvemos na primeira equação, temos:

2 x_1 + 3 x_2 + 4 x_3 = 9

6 x_1 + 3 x_2 = 9

3 x_1 + 3 (x_1 + x_2) = 9

3 x_1 = 3 => x_1 = 1

Como x_1 = 1 e x_1 = x_3 , temos que x_3 = 1 . E como x_1 + x_2 = 2 , temos que x_2 = 1 .

Ou seja, x_1 = x_2 = x_3 = 1 .

Resposta

A solução é vec x = (1,1 , 1) .

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