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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 53

Sejam ∧ e ∧ * os produtos vetoriais associados às duas orientações distintas de V 3 . Exprima:

  1. a → ∧ * b → em função de a → ∧ b → ;
  2. a → ∧ * b → ∧ * c → em função de a → ∧ b → ∧ c → ;
  3. a → ∧ * b → ∧ * c → ∧ * d → em função de ( a → ∧ b → ) ∧ * ( c → ∧ * d → ) .

Passo 1

Bora lá!

Vamos usar a mes ideia a seguir para as três as letras, beleza?

Existem duas orientações distintas do espaço tridimensional, certo? A mais conhecida é a obtida pela famosa regra da mão direita. Em termos práticos, isso resultará em uma mudança de sinal do resultado obtido.

Logo, as operações solicitadas, que na resolução nós vamos representar por ∧ * , são similares ao produto vetorial, representado por ∧ , diferindo apenas pela direção da resultante. Assim, temos:

Passo 2

(a) Exprimir a → ∧ * b → em função de a → ∧ b → .

a → ∧ * b → = - a → ∧ b →

Passo 3

(b) Exprimir a → ∧ * b → ∧ * c → em função de a → ∧ b → ∧ c → .

a → ∧ * b → ∧ * c → = - 1 . - 1 a → ∧ b → ∧ c →

                      = a → ∧ b → ∧ c →

Passo 4

(c) Exprimir a → ∧ * b → ∧ * c → ∧ * d → em função de ( a → ∧ b → ) ∧ * ( c → ∧ * d → ) .

a → ∧ * b → ∧ * c → ∧ * d → = - 1 a → ∧ b → ∧ * - 1 c → ∧ d →

                                                                                    = - 1 . - 1 a → ∧ b → ∧ * c → ∧ d →

                                            = a → ∧ b → ∧ * c → ∧ d →

                                                        = - 1 . a → ∧ b → ∧ c → ∧ d →

Resposta

  1. a → ∧ * b → = - a → ∧ b → ;
  2. a → ∧ * b → ∧ * c → = a → ∧ b → ∧ c → ;
  3. a → ∧ * b → ∧ * c → ∧ * d → = - 1 [ ( a → ∧ b → ) ] ∧ [ ( c → ∧ d → ) ] .
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