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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 51a

(a) Prove que, se u → é unitário, então u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v → , qualquer que seja v → . O duplo produto u → ∧ v → ∧ u → é, portanto, o vetor q → mencionado em [9-9].

Passo 1

Bora lá!

Temos que provar a seguinte igualdade, sendo u → unitário:

u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v →

Pata tal, vamos utilizar a seguinte propriedade:

a → ∧ b → ∧ a → = - b → . c → a → + a → . c → b →

Passo 2

Se nós aplicarmos a propriedade acima na nossa igualdade original, ela se transforma em:

u → ∧ v → ∧ u → = - v → . u → u + u → . u → v →           ( 1 )

Passo 3

Sendo   u → um vetor unitário, temos a seguinte igualdade: u → = 1 , portanto: u → . u → = 1 já que u → . u → = u → 2 .

Por outro lado, temos que lembrar da definição de um vetor sobre o outro. Ele é dada por:

p r o j u → v → = v → . u → u → 2 u →

Como u → é um vetor unitário, temos:

p r o j u → v → = v → . u → u → 2 u → = v → . u → 1 2 u → = v → . u → u →           ( 2 )

Passo 4

Por fim, vamos substituir os termos de (2) em (1):

u → ∧ v → ∧ u → = - v → . u → u + u → . u → v →

                                = - p r o j u → v → + 1 v →

E portanto, provamos a igualdade que nos foi pedida 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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a) Prove que A × B × C + B × C × A + C × A × B = 0 (Sugestão: use o exercício anterior).
b) Mostre que se A × C × B = 0 - , então A × B × C = A × B × C , Ou seja, o produto vetorial é, neste caso, associativo.
Sejam U = ( u 1 , u 2 , u 3 ) , V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo U × V × W = U ⋅ W V - U ⋅ V W , Seguindo os seguintes passos:
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