(a) Prove que, se u → é unitário, então u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v → , qualquer que seja v → . O duplo produto u → ∧ v → ∧ u → é, portanto, o vetor q → mencionado em [9-9].

Passo 1

Bora lá!

Temos que provar a seguinte igualdade, sendo u → unitário:

u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v →

Pata tal, vamos utilizar a seguinte propriedade:

a → ∧ b → ∧ a → = - b → . c → a → + a → . c → b →

Passo 2

Se nós aplicarmos a propriedade acima na nossa igualdade original, ela se transforma em:

u → ∧ v → ∧ u → = - v → . u → u + u → . u → v →           ( 1 )

Passo 3

Sendo   u → um vetor unitário, temos a seguinte igualdade: u → = 1 , portanto: u → . u → = 1 já que u → . u → = u → 2 .

Por outro lado, temos que lembrar da definição de um vetor sobre o outro. Ele é dada por:

p r o j u → v → = v → . u → u → 2 u →

Como u → é um vetor unitário, temos:

p r o j u → v → = v → . u → u → 2 u → = v → . u → 1 2 u → = v → . u → u →           ( 2 )

Passo 4

Por fim, vamos substituir os termos de (2) em (1):

u → ∧ v → ∧ u → = - v → . u → u + u → . u → v →

                                = - p r o j u → v → + 1 v →

E portanto, provamos a igualdade que nos foi pedida 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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