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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 23

Os dados abaixo representam a produção de soja durante vários anos em um determinado terreno. Utilizando seus conhecimentos teóricos, experimentais e bom senso, faça uma previsão da produção em 1980 .

Supondo-se que a produção é economicamente inviável se for inferior a 66,0 toneladas anuais, a partir de que ano deveremos mudar a espécie plantada?

Passo 1

Vamos fazer um ajuste linear dos dados para fazer nossa previsão! A gente quer ajustar os dados na forma:

y = a x + b

E aí vamos transformar os nossos dados em um sistema do tipo:

A x = b

E a solução por mínimos quadrados vai ser obtida multiplicando a equação pela transposta de A .

A T A x = A T b

E aí, ajeitando:

x = A T A - 1 A T b

Passo 2

Escrevendo o sistema com os nossos dados:

196 9 a + b = 96,2 19 70 a + b = 92,0 197 1 a + b = 90,1 197 2 a + b = 89,0 197 3 a + b = 86,8 197 4 a + b = 82,6

E aí, nossas matrizes são:

A = 196 9 1 19 70 1 197 1 1 197 2 1 197 3 1 197 4 1 ,   x = a b ,   b = 96,2 92,0 90,1 89,0 86,8 82,6

Vamos calculando as partes:

A T A = 23320891 1 1829 1 1829 6

Sua inversa será:

A T A - 1 = 2 35 - 3942 35 - 3942 35 23320891 105

Multiplicando pela transposta de A e por b :

x = A T A - 1 A T b = - 121 50 121512 25

E então, pro ano de 1980 :

y = - 121 50 × 1980 + 121512 25

y ≈ 68,6

Passo 3

Agora vamos ver em que ano (na nossa projeção) a produção vai ficar menor que 66 toneladas:

y < 66,0

- 121 50 t + 121512 25 < 66

121 t 50 > 119862 25

Resolvendo,

t > 1981

Portanto, a partir de 1982 a produção anual vai se tornar inviável!

Resposta

Em 1980 , a produção vai ser de 68,6 toneladas, e a partir de 1982 , produzir soja torna-se inviável.

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Sejam u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 . Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em R 2 . Encontre a raiz que gera esse produto interno. u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 u , v = 4 u 1 v 1 + 6 u
Em cada parte, use o produto interno em R 2 dado para calcular w , com w = - 1,3 .O produto interno euclidiano.O produto interno euclidiano ponderado u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 , com u = u 1 , u 2
Suponha que P 2 tenha o produto interno do E x e m p l o7 . Em cada parte, encontre p . p = - 2 + 3 x + 2 x 2 p = 4 - 3 x 2
Em cada parte, calcule u , v usando o produto interno do E x e m p l o6 . u = 3 4- 2 8 ,v = - 1 13 1 u = 1 - 32 5 ,v = 4 06 8
Em cada parte, use o produto interno: p , q = ∫ - 1 1 p x q x d x Em P 3 para calcular p , q . p = 1 - x + x 2 + 5 x 3 , q = x - 3 x 2 p = x - 5 x 3 , q = 2 + 8 x 2