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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 28.Problemas - Ex. 8

Dados os números a ,   b ,   c ,   α ,   β ,   γ , mostre que se tem a desigualdade ( a α + b β +   c γ )   2   ≤   ( a   ² + b ²   + c ²     ) ( α   ²   + β ² + γ ²     ) , valendo a igualdade se, e somente se, existe k tal que α   =   k a ,   β   =   k b   e   γ   =   k c . (Exclua os casos triviais a   =   b   =   c   =   0   o u   α   =   β   =   γ   =   0 . )

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente temos um problema demonstrativo, beleza?

Devemos mostrar que isso sempre será desigualdade a não ser para α   =   k a ,   β   =   k b   e   γ   =   k c

( a α + b β +   c γ )   ²   ≤   ( a ² + b ²   + c ²   ) ( α ²   + β ² + γ ²   )

Começaremos desenvolvendo:

a α + b β +   c γ 2 =   α α 2 + b 2 β 2 + c 2 γ 2 + 2 α α b β + 2 α α c γ + 2 c γ b β

a 2 + b 2 + c 2 α 2 + β 2 + γ 2 = a ² α ² + a ² β ² + a ² γ ² + b ² α ² + b ² β ² + b ² γ ² + c ² α ² + c ² β ² + c ² γ ²

Igualando os termos:

+ 2 α α b β + 2 α α c γ + 2 c γ b β = + a ² β ² + a ² γ ² + b ² α ² + b ² γ ² + c ² α ² + c ² β ²

+ 2 α α b β =   a 2 β 2 + b ² α ²

2 α α c γ + 2 c γ b β = a ² γ ² + c ² α ²

2 c γ b β = b ² γ ² + c ² β ²

Podemos visualizar que para isso ser igual deve existe um k que será um termos genérico tal que:

α   =   k a ,   β   =   k b   e   γ   =   k c

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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