Enunciado

Sejam r 1   =   { A   +   s   ·   v ;   s   ∈   R }   e   r 2   =   { B   +   t   ·   w ;   t   ∈   R } duas retas:

i) Prove que r 1   =   r 2 se, e somente se, os vetores A B → e w são múltiplos de v .

ii) Prove que r 1   e   r 2 são coplanares se, e somente se, os vetores v ,   w e A B → são linearmente dependentes (isto é, um deles é combinação linear dos outros dois).

iii) Prove que r 1   e   r 2 são paralelas se, e somente se, w é múltiplo de v mas não de A B → .

iV) Prove que r 1   e   r 2 são retas reversas (isto é, não estão contidas num mesmo plano) se, e somente se, os vetores v ,   w e A B → são linearmente independentes.

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente temos um problema todo demonstrativo, então teremos vários conceitos algébricos. Beleza!

Então temos r 1   =   { A   +   s   ·   v ;   s   ∈   R }   e   r 2   =   { B   +   t   ·   w ;   t   ∈   R }

Podendo ser escrito como r 1   =   A + s v       e   r 2 =   B + t w

Para r 1 = r 2

Temos que:

A =   B ,

Além disso

S v   = t w  

S v - t w   =   0 , o que ocorre se w for múltiplo de   v

Passo 2

Vamos provar que r 1   e   r 2 são coplanares.

Sabemos que para duas retas serem coplanares o produto vetorial entre dois pontos que pertence a essas retas devem ser nulo, vou representa de forma vetorial como:

l 2 - l 1

Ou seja:

l 2 - l 1 m x 1 . m x 2 = 0  

Para complementar nossa demonstração vamos pegar pois pontos da reta r 1   e   r 2 serão respetivamente l ( x 1 , y 1 , z 1 )   e   M (   x 2 , y 2 , z 2 ) no plano cartesiano.

Sejam também dois vetores m 1   e   m 2 . Suas razões de direção são dadas por a 1 ,   b 1 , c 1 e a 2 , b 2 , c 2 . Logo podemos escrever a equação vetorial que uni L e M como:

L M =   ( x 2 - x 1 ) i +   ( y 2 - y 1 ) j   +   ( x 2 - z 1 ) k

m 1   =   a 1 i   +   b 1 j   +   c 1 k

m 2   =   a 2 i   +   b 2 j   +   c 2 k

Logo:

l 2 - l 1 m x 1 . m x 2 = 0  

Até aí tranquilo?

Passo 3

Aqui vamos considerar r 1 como a x   +   b e r 2 como a 2 x   +   b 2

r = a X +   b , onde a, b são constantes, onde ( X , Y )

São pontos do plano cartesiano.

Sejam duas linhas representadas como

r 1 = a 1 ( ( X )   +   b 1 ,   e   r 2 = a 2 ( X )   +   b 2

Então as duas retas são paralelas, se e somente se

a 1 = a 2   e   o u   b 1   n ã o   é =   b 2   o u   b 1 = b 2 , Este último já que qualquer linha pode ser paralela a si mesma.

Passo 4

Quase acabando!

Para duas retas serem reversa basta as mesma devem obedecerem duas condições, não serem paralelas entre si e não se intersectarem.

Vamos provar isso separadamente.

Para não intersectarem, seja:

r 1   ≠ r 2

  A   +   s   ·   v ≠   B +   t   ·   w

B ≠ A

  s   ·   v ≠     t   ·   w

E para não ser paralela segue o passo 3

a 1 ≠ a 2   e   o u   b 1   n ã o   é ≠   b 2   o u   b 1 ≠ b 2

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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