Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 28.Problemas - Ex. 12
Sejam duas retas:
i) Prove que se, e somente se, os vetores e w são múltiplos de .
ii) Prove que são coplanares se, e somente se, os vetores e são linearmente dependentes (isto é, um deles é combinação linear dos outros dois).
iii) Prove que são paralelas se, e somente se, é múltiplo de v mas não de .
iV) Prove que são retas reversas (isto é, não estão contidas num mesmo plano) se, e somente se, os vetores e são linearmente independentes.
Passo 1
Saudações galerinha, tudo bem?
Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!
Inicialmente temos um problema todo demonstrativo, então teremos vários conceitos algébricos. Beleza!
Então temos }
Podendo ser escrito como
Para
Temos que:
,
Além disso
, o que ocorre se for múltiplo de
Passo 2
Vamos provar que são coplanares.
Sabemos que para duas retas serem coplanares o produto vetorial entre dois pontos que pertence a essas retas devem ser nulo, vou representa de forma vetorial como:
Ou seja:
Para complementar nossa demonstração vamos pegar pois pontos da reta serão respetivamente no plano cartesiano.
Sejam também dois vetores . Suas razões de direção são dadas por e . Logo podemos escrever a equação vetorial que uni e como:
Logo:
Até aí tranquilo?
Passo 3
Aqui vamos considerar como e como
, onde a, b são constantes, onde
São pontos do plano cartesiano.
Sejam duas linhas representadas como
Então as duas retas são paralelas, se e somente se
Este último já que qualquer linha pode ser paralela a si mesma.
Passo 4
Quase acabando!
Para duas retas serem reversa basta as mesma devem obedecerem duas condições, não serem paralelas entre si e não se intersectarem.
Vamos provar isso separadamente.
Para não intersectarem, seja:
E para não ser paralela segue o passo
Prontinho!
Acabamos te vejo na próxima questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)